EDP Sciences 1775594036 20260407 fre

laboutique.edpsciences.fr-002083 03 01 01 002083 03 9782759822171 15 9782759822171 00 BA 02 155 mm 01 230 mm 08 512 gr 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Théorie statistique des champs Tome 2 1 A01 01 A1824 François David David, François François David François David est Directeur de Recherche au CNRS à l’Institut de Physique Théorique du CEA Saclay, ses recherches portent sur la physique quantique, la théorie quantique des champs et la gravitation quantique, la physique statistique et celle des systèmes biologiques. 01 fre 00 312 03 02 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 physique théorique;concepts fondamentaux de la physique;physique statistique;phénomènes critiques;théorie statistique des champs 10 2011 BISACSCI055000 01 530 05 06 03 00 Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par Kenneth Wilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950.<o:p></o:p>Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique.<o:p></o:p>Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs.<o:p></o:p>La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs.<o:p></o:p>Ce deuxième tome est consacré au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Après une introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation de Wilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec le groupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Les applications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiques sont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles de spins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduit également les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques, les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit aux effets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitre constitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme, en particulier en deux dimensions.<o:p></o:p> Les idées du groupe de renormalisation développéespour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par KennethWilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait lathéorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 etdéveloppée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950.<o:p></o:p>Un résultat de ce renouvellement est la théoriestatistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de laphysique des hautes énergies à la physique statistique.<o:p></o:p>Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieursannées, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est uneintroduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il estdestiné aux étudiants et aux chercheurs.<o:p></o:p>La théorie statistique des champs repose surl’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuationsthermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré àl’aspect « quantique » de la théorie des champs.<o:p></o:p>Ce deuxième tome est consacré au point de vue et auxapplications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Aprèsune introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation deWilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec legroupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Lesapplications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiquessont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles despins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduitégalement les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques,les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit auxeffets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitreconstitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme,en particulier en deux dimensions.<o:p></o:p> 02 00 La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome est consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs, le deuxième au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs.<o:p></o:p> La théorie statistique des champs repose surl’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuationsthermiques d’un système classique relié. Le premier tome est consacré àl’aspect « quantique » de la théorie des champs, le deuxième au point de vue etaux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs.<o:p></o:p> 04 00 Introduction du tome 2 ix 0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvIII Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 33910 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 34110.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 34210.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 34210.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 34310.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 34410.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 34510.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 34810.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 35110.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 35210.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 35310.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 35410.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 35510.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36111 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 36311.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36311.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 36411.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 36411.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36611.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 36911.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37211.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 37311.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 37311.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37511.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 37511.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 37511.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37611.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 37811.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38011.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 38011.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 38011.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 38211.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 38811.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 39511.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 39811.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 40211.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40812 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 41112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41112.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41212.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 41212.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 41312.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41612.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 41812.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42012.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 42212.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42412.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 42612.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 42612.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 42712.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42912.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43112.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43312.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 43612.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 43612.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 43612.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43712.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 43812.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 43912.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 44112.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 44512.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 44612.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44813 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 44913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 45013.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranches d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45313.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 45513.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 45513.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 46013.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 46213.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 46513.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46713.4.4 Équations du groupe renormalisation pour la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46813.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47013.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 47113.5.1 Relations d’échelle pour D >4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47213.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473IV Applications et exemples 47514 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 47714.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47714.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 48014.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.2.4 Limite N→ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48214.2.5 N =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48614.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 48814.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 49014.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 49214.4.5 Limite d’échelle et théorie φ4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 49514.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 49714.5.3 Champ moyen et théorie φ63 . . . . . . . . . . . . . . . 49914.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 50014.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50314.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50515 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)..50715.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50715.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.3 Renormalisation à D =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51015.1.4 Détails du calcul perturbatif à D =2 . . . . . . . . . . 51215.1.5 Modèle sigma en dimension D >2 . . . . . . . . . . . . 51515.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 51615.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51915.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52215.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 52315.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52315.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 52315.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52415.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 52515.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 52615.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 52815.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52915.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53115.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 53215.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 53315.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 53415.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 15.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53616 Surfaces, interfaces et membranes 53916.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 54516.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 54916.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55016.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 55316.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 55416.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 56016.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du module de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 56816.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56816.2.8 Membranes polymérisées et transition de froissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57217 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 57917.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57917.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58217.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 58417.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58717.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 59117.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 59317.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 59317.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 59317.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59518 Invariance d’échelle et invariance conforme...59718.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59718.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.2 φ4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.3 Courant de dilatation Jμ dil et tenseur énergie-impulsion T μν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59918.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60018.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 60218.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à une variation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60518.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 18.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 60718.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60818.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 61118.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61118.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 61118.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 61418.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 61718.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621Index 623Bibliographie 627 Introduction du tome 2 ix 0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvIII Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 33910 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 34110.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 34210.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 34210.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 34310.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 34410.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 34510.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 34810.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 35110.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 35210.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 35310.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 35410.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 35510.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36111 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 36311.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36311.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 36411.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 36411.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36611.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 36911.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37211.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 37311.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 37311.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37511.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 37511.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 37511.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37611.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 37811.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38011.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 38011.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 38011.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 38211.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 38811.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 39511.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 39811.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 40211.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40812 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 41112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41112.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41212.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 41212.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 41312.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41612.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 41812.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42012.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 42212.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42412.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 42612.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 42612.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 42712.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42912.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43112.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43312.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 43612.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 43612.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 43612.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43712.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 43812.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 43912.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 44112.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 44512.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 44612.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44813 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 44913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 45013.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranchesd’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45313.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 45513.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 45513.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 46013.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 46213.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques deschamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 46513.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46713.4.4 Équations du groupe renormalisation pour . . . . . . .la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46813.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie deschamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47013.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 47113.5.1 Relations d’échelle pour D >4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47213.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473IV Applications et exemples 47514 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 47714.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47714.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 480Table des matières v14.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 48114.2.4 Limite N→ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48214.2.5 N =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48614.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 48814.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 49014.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 49214.4.5 Limite d’échelle et théorie φ4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 49514.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 49714.5.3 Champ moyen et théorie φ63 . . . . . . . . . . . . . . . 49914.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 50014.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50314.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50515 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)50715.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50715.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.3 Renormalisation à D =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51015.1.4 Détails du calcul perturbatif à D =2 . . . . . . . . . . 51215.1.5 Modèle sigma en dimension D >2 . . . . . . . . . . . . 51515.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 51615.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51915.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52215.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 52315.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52315.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 52315.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52415.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 52515.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 52615.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 52815.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52915.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53115.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 53215.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 53315.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 534vi Théorie statistique des champs15.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53615.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53616 Surfaces, interfaces et membranes 53916.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 54516.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 54916.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55016.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 55316.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 55416.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 56016.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du modulede rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 56816.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage desmembranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56816.2.8 Membranes polymérisées et transition defroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57217 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 57917.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57917.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58217.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 58417.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58717.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 59117.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 59317.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 59317.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 59317.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59518 Invariance d’échelle et invariance conforme 59718.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59718.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.2 φ4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.3 Courant de dilatation Jμdil et tenseur énergie-impulsionT μν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59918.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60018.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 60218.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à unevariation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605Table des matières vii18.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60718.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 60718.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60818.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 61118.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61118.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 61118.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 61418.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 61718.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621Index 623Bibliographie 627 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1264/9782759822188/theorie-statistique-des-champs 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/637/original/9782759822171-TheorieChampsT2_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T173309+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20220616 01 00 20220616 19 00 20220616 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759822188 15 9782759822188 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20220616 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 49.00 01 5.50 2.55 EUR laboutique.edpsciences.fr-R001647 03 01 01 R001647 00 ED E107 00 01 01 Théorie statistique des champs Tome 2 01 fre 08 314 03 22 6673709 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20220616 02 01 002084 03 9782759822188 15 9782759822188 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002084 03 01 01 002084 03 9782759822188 15 9782759822188 10 EA E107 10 00 01 R001647 ED E107 1 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Théorie statistique des champs Tome 2 1 A01 01 A1824 François David David, François François David François David est Directeur de Recherche au CNRS à l’Institut de Physique Théorique du CEA Saclay, ses recherches portent sur la physique quantique, la théorie quantique des champs et la gravitation quantique, la physique statistique et celle des systèmes biologiques. 01 fre 08 312 03 02 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 physique théorique;concepts fondamentaux de la physique;physique statistique;phénomènes critiques;théorie statistique des champs 10 2011 BISACSCI055000 01 530 05 06 03 00 Les idées du groupe de renormalisation développées pour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par Kenneth Wilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait la théorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 et développée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950.<o:p></o:p>Un résultat de ce renouvellement est la théorie statistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de la physique des hautes énergies à la physique statistique.<o:p></o:p>Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieurs années, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est une introduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il est destiné aux étudiants et aux chercheurs.<o:p></o:p>La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs.<o:p></o:p>Ce deuxième tome est consacré au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Après une introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation de Wilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec le groupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Les applications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiques sont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles de spins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduit également les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques, les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit aux effets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitre constitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme, en particulier en deux dimensions.<o:p></o:p> Les idées du groupe de renormalisation développéespour la physique statistique dans les années 1970, en grande partie par KennethWilson (prix Nobel 1982), ont entièrement renouvelé ce que l’on appelait lathéorie relativiste des champs quantiques, née dans les années 1930 etdéveloppée sous la forme de l’électrodynamique quantique dans les années 1950.<o:p></o:p>Un résultat de ce renouvellement est la théoriestatistique des champs, une boîte à outils de tout physicien théoricien, de laphysique des hautes énergies à la physique statistique.<o:p></o:p>Ce livre, qui repose sur un enseignement de plusieursannées, notamment dans le parcours « Physique théorique » du Master 2 «Concepts fondamentaux de la physique », à l’École normale supérieure, est uneintroduction pédagogique à cet ensemble incontournable de notions. Il estdestiné aux étudiants et aux chercheurs.<o:p></o:p>La théorie statistique des champs repose surl’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuationsthermiques d’un système classique relié. Le premier tome était consacré àl’aspect « quantique » de la théorie des champs.<o:p></o:p>Ce deuxième tome est consacré au point de vue et auxapplications « physique statistique » de la théorie quantique des champs. Aprèsune introduction aux phénomènes critiques, le groupe de renormalisation deWilson dans l’espace réel est présenté en détail, et ses relations avec legroupe de renormalisation perturbatif sont discutées de façon approfondie. Lesapplications du groupe de renormalisation au calcul des exposants critiquessont présentées pour un certain nombre de cas. Le livre aborde les modèles despins et les modèles sigma non linéaires, le rôle des excitations topologiques(vortex), le modèle XY et la transition de Kosterlitz-Thouless. Il introduitégalement les modèles simples de polymères, les chaînes de spins quantiques,les phénomènes de mouillage, les membranes flexibles. Un chapitre introduit auxeffets de taille finie dans les systèmes critiques. Enfin un dernier chapitreconstitue une introduction à l’invariance d’échelle et à l’invariance conforme,en particulier en deux dimensions.<o:p></o:p> 02 00 La théorie statistique des champs repose sur l’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuations thermiques d’un système classique relié. Le premier tome est consacré à l’aspect « quantique » de la théorie des champs, le deuxième au point de vue et aux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs.<o:p></o:p> La théorie statistique des champs repose surl’analogie entre les fluctuations quantiques d’un système quantique et les fluctuationsthermiques d’un système classique relié. Le premier tome est consacré àl’aspect « quantique » de la théorie des champs, le deuxième au point de vue etaux applications « physique statistique » de la théorie quantique des champs.<o:p></o:p> 04 00 Introduction du tome 2 ix 0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvIII Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 33910 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 34110.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 34210.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 34210.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 34310.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 34410.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 34510.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 34810.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 35110.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 35210.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 35310.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 35410.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 35510.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36111 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 36311.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36311.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 36411.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 36411.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36611.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 36911.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37211.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 37311.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 37311.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37511.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 37511.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 37511.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37611.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 37811.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38011.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 38011.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 38011.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 38211.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 38811.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 39511.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 39811.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 40211.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40812 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 41112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41112.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41212.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 41212.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 41312.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41612.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 41812.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42012.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 42212.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42412.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 42612.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 42612.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 42712.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42912.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43112.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43312.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 43612.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 43612.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 43612.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43712.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 43812.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 43912.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 44112.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 44512.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 44612.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44813 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 44913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 45013.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranches d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45313.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 45513.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 45513.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 46013.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 46213.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 46513.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46713.4.4 Équations du groupe renormalisation pour la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46813.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47013.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 47113.5.1 Relations d’échelle pour D >4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47213.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473IV Applications et exemples 47514 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 47714.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47714.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 48014.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 14.2.4 Limite N→ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48214.2.5 N =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48614.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 48814.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 49014.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 49214.4.5 Limite d’échelle et théorie φ4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 49514.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 49714.5.3 Champ moyen et théorie φ63 . . . . . . . . . . . . . . . 49914.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 50014.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50314.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50515 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)..50715.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50715.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.3 Renormalisation à D =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51015.1.4 Détails du calcul perturbatif à D =2 . . . . . . . . . . 51215.1.5 Modèle sigma en dimension D >2 . . . . . . . . . . . . 51515.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 51615.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51915.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52215.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 52315.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52315.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 52315.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52415.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 52515.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 52615.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 52815.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52915.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53115.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 53215.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 53315.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 53415.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 15.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53616 Surfaces, interfaces et membranes 53916.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 54516.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 54916.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55016.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 55316.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 55416.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 56016.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du module de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 56816.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56816.2.8 Membranes polymérisées et transition de froissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57217 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 57917.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57917.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58217.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 58417.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58717.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 59117.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 59317.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 59317.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 59317.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59518 Invariance d’échelle et invariance conforme...59718.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59718.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.2 φ4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.3 Courant de dilatation Jμ dil et tenseur énergie-impulsion T μν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59918.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60018.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 60218.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à une variation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60518.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 18.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 60718.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60818.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 61118.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61118.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 61118.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 61418.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 61718.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621Index 623Bibliographie 627 Introduction du tome 2 ix 0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvIII Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 33910 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 34110.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34110.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 34210.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 34210.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 34310.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 34410.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 34510.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 34810.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 35110.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35110.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 35210.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 35310.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 35310.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 35410.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35410.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 35510.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 35810.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36010.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36111 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 36311.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36311.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 36411.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 36411.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36611.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 36911.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37211.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 37311.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 37311.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37411.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37511.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 37511.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 37511.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37611.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37711.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37811.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 37811.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38011.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 38011.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 38011.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 38211.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 38811.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39111.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 39311.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 39511.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 39811.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40111.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 40211.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40311.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40511.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40611.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40711.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40812 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 41112.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41112.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41212.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 41212.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 41312.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41612.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 41812.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42012.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 42212.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42412.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 42612.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 42612.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 42712.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 42812.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42912.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43012.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43112.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43312.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 43612.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 43612.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 43612.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43712.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 43812.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 43912.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 44112.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44312.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44512.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 44512.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 44612.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448 12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44813 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 44913.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44913.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45013.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 45013.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranchesd’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45313.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 45513.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 45513.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45913.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 46013.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46113.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 46213.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques deschamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46413.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 46513.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46613.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46713.4.4 Équations du groupe renormalisation pour . . . . . . .la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46813.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie deschamps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47013.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 47113.5.1 Relations d’échelle pour D >4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47113.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47213.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473IV Applications et exemples 47514 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 47714.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47714.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47914.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 480Table des matières v14.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 48114.2.4 Limite N→ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48214.2.5 N =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48314.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48614.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 48714.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 48814.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 49014.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 49214.4.5 Limite d’échelle et théorie φ4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 49514.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49714.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 49714.5.3 Champ moyen et théorie φ63 . . . . . . . . . . . . . . . 49914.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 50014.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50314.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50515 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)50715.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50715.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 50815.1.3 Renormalisation à D =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51015.1.4 Détails du calcul perturbatif à D =2 . . . . . . . . . . 51215.1.5 Modèle sigma en dimension D >2 . . . . . . . . . . . . 51515.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 51615.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51915.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52215.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 52315.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52315.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 52315.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52415.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 52515.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 52615.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 52815.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 52815.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52915.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53115.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 53215.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 53315.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 534vi Théorie statistique des champs15.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53615.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53616 Surfaces, interfaces et membranes 53916.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 53916.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 54516.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 54916.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55016.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55216.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 55316.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 55416.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 56016.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du modulede rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56316.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 56816.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage desmembranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56816.2.8 Membranes polymérisées et transition defroissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57217 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 57917.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57917.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58217.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 58417.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58717.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 59117.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 59317.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 59317.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 59317.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59518 Invariance d’échelle et invariance conforme 59718.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59718.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.2 φ4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59818.2.3 Courant de dilatation Jμdil et tenseur énergie-impulsionT μν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59918.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60018.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 60218.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à unevariation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605Table des matières vii18.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60718.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 60718.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60818.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 61118.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61118.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 61118.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 61418.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 61718.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621Index 623Bibliographie 627 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1264/9782759822188/theorie-statistique-des-champs 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/637/original/9782759822171-TheorieChampsT2_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T173309+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20220616 01 00 20220616 19 00 20220616 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759822171 15 9782759822171 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20220616 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 31.99 01 5.50 1.67 EUR 04 06 01 02 1 00 119.99 01 5.50 1.67 EUR 01 04 06 01 02 1 00 131.99 01 5.50 6.88 USD 01