EDP Sciences 1777471446 20260429 fre

laboutique.edpsciences.fr-002699 03 01 01 002699 03 9782759827602 15 9782759827602 00 BA 02 16 mm 01 24 mm 10 01 02 PROfil Les ouvrages de la collection « PROfil » ont pour vocation la transmission des savoirs professionnels dans différentes disciplines. Ils sont rédigés par des experts reconnus dans leurs domaines et contribuent à la formation et l'information des professionnels. 01 01 Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles 1 A01 01 A2256 Daniel Bouche Bouche, Daniel Daniel Bouche Daniel Bouche est chercheur-ingénieur au centre CEA DAM Île-de-France de Bruyères-le-Châtel. Daniel Bouche est directeur de recherche au CEA 2 A01 01 A2257 William Weens Weens, William William Weens William Weens est chercheur-ingénieur au centre CEA DAM Île-de-France de Bruyères-le-Châtel. William Weer est ingénieur de recherche au CEA. 01 fre 00 248 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 analyse de Fourier;fonctions de Green;advection;onde;artéfact;dissipatif;dispersif 10 2011 MAT003000 01 510 05 06 06 03 00 <blockquote>La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple. L’analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP. Elle s’appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre et du caractère principal du schéma. Ce livre s’adresse à un public d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux.</blockquote> La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple. L’analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP. Elle s’appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre et du caractère principal du schéma. Ce livre s’adresse à un public d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux. 02 00 Ce livre destiné à un public académique et professionnel permet de comprendre les schémas numériques d'un point de vue quantitatif pour résoudre les équations aux dérivées partielles. Comprendre les schémas numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles. 04 00 I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13<o:p></o:p>3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19<o:p></o:p>4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23<o:p></o:p>4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24<o:p></o:p>4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et<o:p></o:p>dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41<o:p></o:p>4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>4.3.1 Première méthode : développement de Taylor et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45<o:p></o:p>4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46<o:p></o:p>4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini de termes . . 49<o:p></o:p>4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55<o:p></o:p>4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<o:p></o:p>II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64<o:p></o:p>5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67<o:p></o:p>5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75<o:p></o:p>5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83<o:p></o:p>5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93<o:p></o:p>5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94<o:p></o:p>5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96<o:p></o:p>5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98<o:p></o:p>5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105<o:p></o:p>5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107<o:p></o:p>5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une condition initiale marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111<o:p></o:p>5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114<o:p></o:p>5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124<o:p></o:p>5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129<o:p></o:p>5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<o:p></o:p>5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133<o:p></o:p>5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134<o:p></o:p>6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138<o:p></o:p>6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<o:p></o:p>6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 1396.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146<o:p></o:p>7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149<o:p></o:p>7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150<o:p></o:p>7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154<o:p></o:p>7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159<o:p></o:p>7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183<o:p></o:p>8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186<o:p></o:p>8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189<o:p></o:p>8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<o:p></o:p>10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advection à vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199<o:p></o:p>10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémas centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215<o:p></o:p>11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<o:p></o:p>12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223<o:p></o:p>12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224<o:p></o:p>12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227<o:p></o:p>12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230<o:p></o:p>Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<o:p></o:p>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239<o:p></o:p><o:p> </o:p> I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13<o:p></o:p>3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19<o:p></o:p>4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23<o:p></o:p>4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24<o:p></o:p>4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et<o:p></o:p>dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41<o:p></o:p>4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>4.3.1 Première méthode : développement de Taylor<o:p></o:p>et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45<o:p></o:p>4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46<o:p></o:p>4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini determes . . 49<o:p></o:p>4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour<o:p></o:p>l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55<o:p></o:p>4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<o:p></o:p>II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64<o:p></o:p>5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67<o:p></o:p>5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75<o:p></o:p>5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83<o:p></o:p>5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation<o:p></o:p>équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93<o:p></o:p>5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94<o:p></o:p>5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96<o:p></o:p>5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98<o:p></o:p>5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105<o:p></o:p>5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107<o:p></o:p>5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une conditioninitiale<o:p></o:p>marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111<o:p></o:p>5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114<o:p></o:p>5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124<o:p></o:p>5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129<o:p></o:p>5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<o:p></o:p>5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133<o:p></o:p>5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134<o:p></o:p>6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138<o:p></o:p>6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<o:p></o:p>6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 139<o:p></o:p>Analyse quantitative des schémas numériques<o:p></o:p>6.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation del’équation<o:p></o:p>des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146<o:p></o:p>7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149<o:p></o:p>7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150<o:p></o:p>7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154<o:p></o:p>7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159<o:p></o:p>7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183<o:p></o:p>8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186<o:p></o:p>8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189<o:p></o:p>8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<o:p></o:p>10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advectionà vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199<o:p></o:p>10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémascentrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215<o:p></o:p>11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<o:p></o:p>12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223<o:p></o:p>12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224<o:p></o:p>12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227<o:p></o:p>12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230<o:p></o:p>Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<o:p></o:p>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239<o:p></o:p><o:p> </o:p> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1397/9782759827619/analyse-quantitative-des-schemas-numeriques-pour-les-equations-aux-derivees-partielles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/123/original/9782759827602-AnalyseQuantitative_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172752+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/124/original/9782759827602-AnalyseQuantitative_couv-THUMBNAIL.jpg 17 14 20240913T172752+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20240328 01 00 20240328 19 00 20240328 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759827619 15 9782759827619 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20240328 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 59.00 01 5.50 3.08 EUR laboutique.edpsciences.fr-R002586 03 01 01 R002586 00 ED E107 00 01 01 Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles 01 fre 08 250 03 22 3458256 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20240328 02 01 002700 03 9782759827619 15 9782759827619 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002700 03 01 01 002700 03 9782759827619 15 9782759827619 10 EA E107 10 00 01 R002586 ED E107 1 10 01 02 PROfil Les ouvrages de la collection « PROfil » ont pour vocation la transmission des savoirs professionnels dans différentes disciplines. Ils sont rédigés par des experts reconnus dans leurs domaines et contribuent à la formation et l'information des professionnels. 01 01 Analyse quantitative des schémas numériques pour les équations aux dérivées partielles 1 A01 01 A2256 Daniel Bouche Bouche, Daniel Daniel Bouche Daniel Bouche est chercheur-ingénieur au centre CEA DAM Île-de-France de Bruyères-le-Châtel. Daniel Bouche est directeur de recherche au CEA 2 A01 01 A2257 William Weens Weens, William William Weens William Weens est chercheur-ingénieur au centre CEA DAM Île-de-France de Bruyères-le-Châtel. William Weer est ingénieur de recherche au CEA. 01 fre 08 248 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 analyse de Fourier;fonctions de Green;advection;onde;artéfact;dissipatif;dispersif 10 2011 MAT003000 01 510 05 06 06 03 00 <blockquote>La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple. L’analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP. Elle s’appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre et du caractère principal du schéma. Ce livre s’adresse à un public d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux.</blockquote> La simulation numérique est devenue une méthode incontournable de résolution d’équations aux dérivées partielles (EDP). Son implémentation pratique passe par des schémas numériques, qui remplacent l’EDP par un ensemble d’équations discrètes, plus précisément une équation aux différences indicée en temps et en espace. Mais cette opération n’est pas sans conséquence. Le schéma peut introduire des artefacts : oscillations ou étalement des discontinuités présentes dans les conditions initiales, par exemple. L’analyse quantitative des schémas vise à comprendre leur comportement, en particulier quels artefacts ils sont susceptibles d’introduire, et quelles erreurs ils génèrent. Pour y parvenir, elle calcule explicitement des solutions de schémas et les compare aux solutions exactes des EDP. Elle s’appuie principalement sur trois méthodes, que nous présentons dans ce livre. La méthode opératorielle écrit directement la solution du schéma. L’analyse de Fourier en fournit une représentation intégrale. La méthode de l’équation équivalente remplace l’équation aux différences du schéma par une EDP qui reproduit son comportement. Nous appliquons ces méthodes à trois EDP linéaires : équation d’advection, des ondes et de la chaleur, et à un ensemble de schémas représentatifs, caractérisés par leur ordre et leur caractère principal, dissipatif (étalement des discontinuités) ou dispersif (générateur d’oscillations parasites). Pour chacun des schémas étudiés, nous calculons des solutions exactes ou approchées, et les comparons à des simulations numériques. Nous montrons qu’elles peuvent souvent être décrites à l’aide de fonctions spéciales universelles, au sens où elles ne dépendent que de l’ordre et du caractère principal du schéma. Ce livre s’adresse à un public d’étudiants, du master au doctorat, d’ingénieurs et de chercheurs utilisateurs et concepteurs de méthodes numériques. Il vise à les aider à acquérir une compréhension profonde et opérationnelle du comportement des schémas, utile pour choisir le schéma le mieux adapté à une EDP donnée, ou pour en concevoir de nouveaux. 02 00 Ce livre destiné à un public académique et professionnel permet de comprendre les schémas numériques d'un point de vue quantitatif pour résoudre les équations aux dérivées partielles. Comprendre les schémas numériques pour résoudre les équations aux dérivées partielles. 04 00 I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13<o:p></o:p>3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19<o:p></o:p>4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23<o:p></o:p>4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24<o:p></o:p>4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et<o:p></o:p>dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41<o:p></o:p>4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>4.3.1 Première méthode : développement de Taylor et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45<o:p></o:p>4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46<o:p></o:p>4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini de termes . . 49<o:p></o:p>4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55<o:p></o:p>4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<o:p></o:p>II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64<o:p></o:p>5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67<o:p></o:p>5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75<o:p></o:p>5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83<o:p></o:p>5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93<o:p></o:p>5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94<o:p></o:p>5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96<o:p></o:p>5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98<o:p></o:p>5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105<o:p></o:p>5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107<o:p></o:p>5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une condition initiale marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111<o:p></o:p>5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114<o:p></o:p>5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124<o:p></o:p>5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129<o:p></o:p>5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<o:p></o:p>5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133<o:p></o:p>5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134<o:p></o:p>6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138<o:p></o:p>6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<o:p></o:p>6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 1396.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146<o:p></o:p>7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149<o:p></o:p>7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150<o:p></o:p>7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154<o:p></o:p>7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159<o:p></o:p>7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183<o:p></o:p>8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186<o:p></o:p>8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189<o:p></o:p>8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<o:p></o:p>10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advection à vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199<o:p></o:p>10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémas centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215<o:p></o:p>11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<o:p></o:p>12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223<o:p></o:p>12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224<o:p></o:p>12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227<o:p></o:p>12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230<o:p></o:p>Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<o:p></o:p>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239<o:p></o:p><o:p> </o:p> I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5<o:p></o:p>2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7<o:p></o:p>3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<o:p></o:p>3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12<o:p></o:p>3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13<o:p></o:p>3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19<o:p></o:p>4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23<o:p></o:p>4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24<o:p></o:p>4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et<o:p></o:p>dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41<o:p></o:p>4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>4.3.1 Première méthode : développement de Taylor<o:p></o:p>et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45<o:p></o:p>4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46<o:p></o:p>4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini determes . . 49<o:p></o:p>4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour<o:p></o:p>l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55<o:p></o:p>4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57<o:p></o:p>II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63<o:p></o:p>5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64<o:p></o:p>5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67<o:p></o:p>5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75<o:p></o:p>5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76<o:p></o:p>5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82<o:p></o:p>5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83<o:p></o:p>5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation<o:p></o:p>équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93<o:p></o:p>5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94<o:p></o:p>5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96<o:p></o:p>5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98<o:p></o:p>5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105<o:p></o:p>5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107<o:p></o:p>5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une conditioninitiale<o:p></o:p>marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111<o:p></o:p>5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114<o:p></o:p>5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124<o:p></o:p>5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128<o:p></o:p>5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129<o:p></o:p>5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132<o:p></o:p>5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133<o:p></o:p>5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134<o:p></o:p>6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137<o:p></o:p>6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138<o:p></o:p>6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139<o:p></o:p>6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 139<o:p></o:p>Analyse quantitative des schémas numériques<o:p></o:p>6.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation del’équation<o:p></o:p>des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145<o:p></o:p>7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146<o:p></o:p>7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147<o:p></o:p>7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148<o:p></o:p>7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149<o:p></o:p>7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150<o:p></o:p>7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154<o:p></o:p>7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159<o:p></o:p>7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165<o:p></o:p>8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183<o:p></o:p>8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186<o:p></o:p>8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189<o:p></o:p>8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195<o:p></o:p>10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advectionà vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197<o:p></o:p>10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199<o:p></o:p>10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémascentrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203<o:p></o:p>10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207<o:p></o:p>11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215<o:p></o:p>11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221<o:p></o:p>12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223<o:p></o:p>12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224<o:p></o:p>12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227<o:p></o:p>12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230<o:p></o:p>Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235<o:p></o:p>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239<o:p></o:p><o:p> </o:p> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1397/9782759827619/analyse-quantitative-des-schemas-numeriques-pour-les-equations-aux-derivees-partielles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/123/original/9782759827602-AnalyseQuantitative_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172752+0200 15 00 03 02 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