EDP Sciences 1777258714 20260427 fre

laboutique.edpsciences.fr-002104 03 01 01 002104 03 9782759827640 15 9782759827640 00 BA 02 155 mm 01 230 mm 08 340 gr 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Groupes de symétrie en physique Brisure spontanée et transitions de phase 1 A01 01 A346 Jean Zinn-Justin Zinn-Justin, Jean Jean Zinn-Justin Jean Zinn-Justin, membre de l’Académie des sciences, est spécialiste de la théorie quantique des champs en physique des particules. Il est conseiller scientifique au Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives(CEA). Il a été directeur de recherche au CEA et a travaillé au service de physique théorique de Saclay. Il a été également professeur associé de mathématiques à l'université de Paris 7 et enseignant au magistère inter-universitaire de physique de Paris. Il a été professeur invité dans de nombreuses universités étrangères. Il a dirigé l'Ecole de Physique des Houches de 1987 à 1995. Ses travaux portent sur différentes applications de la théorie quantique des champs, de la théorie des transitions de phase en physique statistique à la physique des interactions fondamentales. Il est l'auteur d'un livre de théorie quantique des champs: 'Quantum Field Theory and Critical Phenomena' (Oxford University Press).  Jean Zinn-Justin est directeur de recherche au CEA et travaille au service de physique théorique de Saclay. Il est également professeur associé de mathématiques à l'université de Paris 7 et enseignant au magistère inter-universitaire de physique de Paris. Il a été professeur invité dans de nombreuses universités étrangères. Il a dirigé l'Ecole de Physique des Houches de 1987 à 1995. Ses travaux portent sur différentes applications de la théorie quantique des champs, de la théorie des transitions de phase en physique statistique à la physique des interactions fondamentales. Il est l'auteur d'un livre de théorie quantique des champs Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford University Press). (au moment de la parution de l'ouvrage) 01 fre 00 196 03 01 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:Subject Meilleures ventes 2022 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Meilleures ventes 2022| 20 physique;théorie des groupes;symétrie;science;transitions de phase 10 2011 BISACSCI055000 01 530 05 06 03 00 Le XXe siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires et dans la théorie des transitions de phase.Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la foisélémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N). Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des transitions de phase.Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans lecontexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master, aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants. 02 00 Une introduction générale à la théoriedes groupes, à la fois élémentaire et mathématiquement rigoureuse. Sont décritsen détail certains groupes parmi les plus utilisés en physique. Ensuite quelquesapplications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries(théorème de Noether) ou les brisures de symétrie sont présentées.<o:p></o:p> 04 00 Table des matières1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 12 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 52.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 112.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 173.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 173.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 234.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 274.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 305 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 315.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 355.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 375.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 405.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 486.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 557.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 607.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 627.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 638 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 668.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 688.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 708.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 759 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 779.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 779.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 819.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 839.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 859.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 9410 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 9710.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 10711.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 11112 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 11512.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 11712.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 11912.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 12213 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 12513.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 12513.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 12714 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 13314.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13915 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 14115.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 14115.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14816 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 14916.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 15116.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 15216.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 15416.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 15516.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 15716.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 16116.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Table des mati`eres1 Quelques r´eflexions sur le rˆole des sym´etries en physique . . . . . . 12 La notion de groupe. D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . 52.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Groupes ab´eliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Groupe sym´etrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 112.4 Transformations lin´eaires du r´eseau cubique g´en´eral . . . . . . . . 12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Groupes ab´eliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 173.1 Translations sur la droite r´eelle et dilatations . . . . . . . . . . 173.2 Groupe U(1). Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Groupes de matrice et alg`ebres : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 234.1 Alg`ebres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Isomorphismes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 D´eterminants et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Transformations lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 274.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . 305 Groupes de Lie : rotations et r´eflexions du plan . . . . . . . . . . 315.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Repr´esentations : formes bilin´eaires et tenseurs . . . . . . . . . . 355.4 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . 375.5 Repr´esentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 405.6 Repr´esentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 M´ecanique quantique et repr´esentations de dimension infinie . . . . 42Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Alg`ebres et groupes deLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Groupe et alg`ebre de Lie : repr´esentation adjointe . . . . . . . . 486.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et alg`ebre de Lie . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 557.1 Groupe SO(3) et alg`ebre deLie . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Les repr´esentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 607.4 M´ecanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 627.5 Espace de fonctions et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . 638 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66vi Table des mati`eres8.2 Repr´esentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 688.3 Alg`ebre de Lie de SU(2) : repr´esentations irr´eductibles . . . . . . 708.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la m´ecanique quantique . . . . . . 759 Groupes de Lie plus g´en´eraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 779.1 Groupes matriciels et alg`ebres deLie . . . . . . . . . . . . . . 779.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Alg`ebre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 819.4 Un exemple : l’alg`ebre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 839.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 859.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.7 Alg`ebre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.8 Repr´esentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.10 Repr´esentations irr´eductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 9410 Alg`ebres de Lie et op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . 9710.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411 Groupe lin´eaire g´en´eral GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 10711.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.2 Groupe sym´etrique et tenseurs : r´eduction des repr´esentations . 11112 Sym´etries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.1 Les ´equations du mouvement en m´ecanique lagrangienne . . . . 11512.2 M´ecanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 11712.4 Sym´etries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 11912.5 Th´eorie classique des champs. Th´eor`eme deNoether . . . . . . 12213 Sym´etries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 12513.1 Rappels minimaux de m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 12513.2 Op´erateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 12714 Marche au hasard : sym´etries ´emergentes . . . . . . . . . . . 13314.1 Sym´etrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13915 Brisure spontan´ee de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . 14115.1 M´ecanique classique : sym´etries discr`etes et continues . . . . . 14115.2 Th´eorie des champs, sym´etries continues et modes de Goldstone . 143Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14816 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 14916.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 15116.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 15216.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 15416.5 Sym´etrie Z2 et propri´et´es universelles . . . . . . . . . . . . 15516.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 15716.7 Fonctions de corr´elation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161Table des mati`eres vii16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe d eLorentz . . . . . . . 178A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1277/9782759827657/groupes-de-symetrie-en-physique 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/681/original/9782759827640-GroupesSym%C3%A9triePhys_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172800+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20220825 01 00 20220825 19 00 20220825 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759827657 15 9782759827657 06 03 9782987527640 15 9782987527640 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20220825 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 49.00 01 5.50 2.55 EUR laboutique.edpsciences.fr-R001716 03 01 01 R001716 00 ED E107 00 01 01 Groupes de symétrie en physique Brisure spontanée et transitions de phase 01 fre 08 197 03 22 1408308 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20220825 02 01 002105 03 9782759827657 15 9782759827657 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002105 03 01 01 002105 03 9782759827657 15 9782759827657 10 EA E107 10 00 01 R001716 ED E107 1 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Groupes de symétrie en physique Brisure spontanée et transitions de phase 1 A01 01 A346 Jean Zinn-Justin Zinn-Justin, Jean Jean Zinn-Justin Jean Zinn-Justin, membre de l’Académie des sciences, est spécialiste de la théorie quantique des champs en physique des particules. Il est conseiller scientifique au Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives(CEA). Il a été directeur de recherche au CEA et a travaillé au service de physique théorique de Saclay. Il a été également professeur associé de mathématiques à l'université de Paris 7 et enseignant au magistère inter-universitaire de physique de Paris. Il a été professeur invité dans de nombreuses universités étrangères. Il a dirigé l'Ecole de Physique des Houches de 1987 à 1995. Ses travaux portent sur différentes applications de la théorie quantique des champs, de la théorie des transitions de phase en physique statistique à la physique des interactions fondamentales. Il est l'auteur d'un livre de théorie quantique des champs: 'Quantum Field Theory and Critical Phenomena' (Oxford University Press).  Jean Zinn-Justin est directeur de recherche au CEA et travaille au service de physique théorique de Saclay. Il est également professeur associé de mathématiques à l'université de Paris 7 et enseignant au magistère inter-universitaire de physique de Paris. Il a été professeur invité dans de nombreuses universités étrangères. Il a dirigé l'Ecole de Physique des Houches de 1987 à 1995. Ses travaux portent sur différentes applications de la théorie quantique des champs, de la théorie des transitions de phase en physique statistique à la physique des interactions fondamentales. Il est l'auteur d'un livre de théorie quantique des champs Quantum Field Theory and Critical Phenomena (Oxford University Press). (au moment de la parution de l'ouvrage) 01 fre 08 196 03 01 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:Subject Meilleures ventes 2022 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Meilleures ventes 2022| 20 physique;théorie des groupes;symétrie;science;transitions de phase 10 2011 BISACSCI055000 01 530 05 06 03 00 Le XXe siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires et dans la théorie des transitions de phase.Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la foisélémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N). Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des transitions de phase.Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans lecontexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master, aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants. 02 00 Une introduction générale à la théoriedes groupes, à la fois élémentaire et mathématiquement rigoureuse. Sont décritsen détail certains groupes parmi les plus utilisés en physique. Ensuite quelquesapplications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries(théorème de Noether) ou les brisures de symétrie sont présentées.<o:p></o:p> 04 00 Table des matières1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 12 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 52.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 112.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 173.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 173.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 234.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 274.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 305 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 315.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 355.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 375.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 405.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 486.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 557.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 607.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 627.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 638 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 668.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 688.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 708.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 759 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 779.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 779.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 819.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 839.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 859.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 9410 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 9710.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 10711.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 11112 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 11512.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 11712.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 11912.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 12213 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 12513.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 12513.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 12714 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 13314.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13915 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 14115.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 14115.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14816 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 14916.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 15116.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 15216.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 15416.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 15516.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 15716.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 16116.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Table des mati`eres1 Quelques r´eflexions sur le rˆole des sym´etries en physique . . . . . . 12 La notion de groupe. D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . 52.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Groupes ab´eliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Groupe sym´etrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 112.4 Transformations lin´eaires du r´eseau cubique g´en´eral . . . . . . . . 12Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Groupes ab´eliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 173.1 Translations sur la droite r´eelle et dilatations . . . . . . . . . . 173.2 Groupe U(1). Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Groupes de matrice et alg`ebres : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 234.1 Alg`ebres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.2 Isomorphismes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 D´eterminants et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 264.5 Transformations lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 274.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.7 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . 305 Groupes de Lie : rotations et r´eflexions du plan . . . . . . . . . . 315.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.3 Repr´esentations : formes bilin´eaires et tenseurs . . . . . . . . . . 355.4 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . 375.5 Repr´esentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 405.6 Repr´esentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 415.7 M´ecanique quantique et repr´esentations de dimension infinie . . . . 42Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 Alg`ebres et groupes deLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . 456.2 Groupe et alg`ebre de Lie : repr´esentation adjointe . . . . . . . . 486.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et alg`ebre de Lie . . . 50Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 557.1 Groupe SO(3) et alg`ebre deLie . . . . . . . . . . . . . . . . 567.2 Repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597.3 Les repr´esentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 607.4 M´ecanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 627.5 Espace de fonctions et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . 638 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 658.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66vi Table des mati`eres8.2 Repr´esentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 688.3 Alg`ebre de Lie de SU(2) : repr´esentations irr´eductibles . . . . . . 708.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 738.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la m´ecanique quantique . . . . . . 759 Groupes de Lie plus g´en´eraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 779.1 Groupes matriciels et alg`ebres deLie . . . . . . . . . . . . . . 779.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 809.3 Alg`ebre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 819.4 Un exemple : l’alg`ebre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 839.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 859.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869.7 Alg`ebre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879.8 Repr´esentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 929.10 Repr´esentations irr´eductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 9410 Alg`ebres de Lie et op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . 9710.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9910.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10411 Groupe lin´eaire g´en´eral GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 10711.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 10811.2 Groupe sym´etrique et tenseurs : r´eduction des repr´esentations . 11112 Sym´etries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 11512.1 Les ´equations du mouvement en m´ecanique lagrangienne . . . . 11512.2 M´ecanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11612.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 11712.4 Sym´etries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 11912.5 Th´eorie classique des champs. Th´eor`eme deNoether . . . . . . 12213 Sym´etries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 12513.1 Rappels minimaux de m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 12513.2 Op´erateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 12714 Marche au hasard : sym´etries ´emergentes . . . . . . . . . . . 13314.1 Sym´etrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13915 Brisure spontan´ee de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . 14115.1 M´ecanique classique : sym´etries discr`etes et continues . . . . . 14115.2 Th´eorie des champs, sym´etries continues et modes de Goldstone . 143Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14816 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 14916.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14916.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 15116.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 15216.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 15416.5 Sym´etrie Z2 et propri´et´es universelles . . . . . . . . . . . . 15516.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 15716.7 Fonctions de corr´elation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161Table des mati`eres vii16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe d eLorentz . . . . . . . 178A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1277/9782759827657/groupes-de-symetrie-en-physique 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/681/original/9782759827640-GroupesSym%C3%A9triePhys_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172800+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20220825 01 00 20220825 19 00 20220825 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782987527640 15 9782987527640 13 03 9782759827640 15 9782759827640 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20220825 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 33.99 01 5.50 1.77 EUR 04 06 01 02 1 00 119.99 01 5.50 1.77 EUR 01 04 06 01 02 1 00 131.99 01 5.50 6.88 USD 01