EDP Sciences 1775310794 20260404 fre

laboutique.edpsciences.fr-R001839 03 01 01 R001839 00 ED E107 00 01 01 An Introduction to Linear Algebra 01 eng 08 238 03 22 5396069 17 01 P15 EDP Sciences & Science Press 01 01 P15 EDP Sciences & Science Press 11 00 20221208 02 01 002193 03 9782759830459 15 9782759830459 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002193 03 01 01 002193 03 9782759830459 15 9782759830459 10 EA E107 10 00 01 R001839 ED E107 1 10 01 02 Current Natural Sciences 01 01 An Introduction to Linear Algebra 1 A01 01 A2090 Xuan LIU LIU, Xuan Xuan LIU Xuan LIU is a PhD student in mathematics at the University of Macau. are research interests focuses on scientific calculus and numerical linear algebra.  2 A01 01 A2087 Zhi ZHAO ZHAO, Zhi Zhi ZHAO Zhi ZHAO is Associate Professor of Mathematics at Hangzhou Dianzi University. His research has centered on numerical linear algebra and Riemannian optimization. 3 A01 01 A2089 Wei-Hui LIU LIU, Wei-Hui Wei-Hui LIU Wei-Hui LIU  is a PhD student in mathematics at the University of Macau. are research interests focuses on scientific calculus and numerical linear algebra.  4 A01 01 A2088 Xiao-Qing JIN JIN, Xiao-Qing Xiao-Qing JIN Xiao-Qing JIN is Distinguished Professor of Mathematics at the University of Macau. His research interests include scientific computing, numerical linear algebra, optimization, and financial mathematics.  01 eng 08 236 03 02 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Linear algebra;mathematics;physics;computer science;engineering;economics;science students;colleges;universities 10 2011 MAT002050 01 510 05 03 00 Linear algebra is a core course for science and engineering students in colleges and universities. It is one of the foundations of modern mathematics and has extensive and profound applications in physics, computer science, engineering, economics, etc. This book aims to help readers acquire the basic knowledge of linear algebra and lay the ground for further study of mathematics courses. It is intended for first-year undergraduate students in engineering, science, and other areas related to mathematics. It is also suitable for self-study. This book is organized into eight chapters and the main contents include linear equations, basic operations of matrices, determinants, vector spaces, eigenvalues and eigenvectors, linear transformations, etc. In the eighth and last chapter, the authors draw on key concepts presented in the previous chapters in the book to give an elementary proof of the recently proposed Böttcher-Wenzel conjecture. In addition, the appendix provides a preliminary discussion of the independence of the axioms of vector spaces. The book provides simple exercises for tutorials and more challenging exercises for student practice. Abstract algebra is an essential tool in algebra, number theory, geometry, topology, and, to a lesser extent, analysis. It is therefore a core requirement for all mathematics majors. Outside of mathematics, abstract algebra also has many applications in cryptography, coding theory, quantum chemistry, and physics. This book is intended as a textbook for a one-term senior undergraduate or gradate course in abstract algebra to prepare students for further readings on relevant subjects such as Group Theory and Galois Theory. Abstract algebra being the field of mathematics that studies algebraic structures such as groups, rings, fields, and modules, we will primarily study groups, rings, and fields in this book. The authors invite readers to experience the beauty of mathematics by studying Abstract algebra which offers not only opportunities to work on complex concepts and to develop one’s abstract reasoning abilities, but also a preliminary understanding of what it is like to do research in mathematics. 02 00 This book aims to help readers acquire the basic knowledge of linear algebra and lay the ground for further study of mathematics courses. It is intended for first-year undergraduate students in engineering, science, and other areas related to mathematics. It is also suitable for self-study. Abstract algebra is an essential tool in algebra, number theory, geometry, topology, and, to a lesser extent, analysis. It is therefore a core requirement for all mathematics majors. Outside of mathematics, abstract algebra also has many applications in cryptography, coding theory, quantum chemistry, and physics. This book is intended as a textbook for a one-term senior undergraduate or gradate course in abstract algebra to prepare students for further readings on relevant subjects such as Group Theory and Galois Theory. 04 00 Chapter 1Linear Systems and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1<o:p></o:p>1.1Introduction to Linear Systems and Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .1<o:p></o:p>1.1.1Linear equations and linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1.1.2Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>1.1.3Elementary row operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4<o:p></o:p>1.2Gauss-Jordan Elimination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5<o:p></o:p>1.2.1Reduced row-echelon form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .5<o:p></o:p>1.2.2Gauss-Jordan elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>1.2.3Homogeneous linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .9<o:p></o:p>1.3 Matrix Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>1.3.1Operations on matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>1.3.2 Partition of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .13<o:p></o:p>1.3.3Matrix product by columns and by rows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13<o:p></o:p>1.3.4Matrix product of partitioned matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>1.3.5Matrix form of a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 15<o:p></o:p>1.3.6Transpose and trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16<o:p></o:p>1.4 Rules of Matrix Operations and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18<o:p></o:p>1.4.1 Basic properties of matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19<o:p></o:p>1.4.2Identity matrix and zero matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>1.4.3Inverse of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<o:p></o:p>1.4.4Powers of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>1.5Elementary Matrices and a Method for Finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24<o:p></o:p>1.5.1Elementary matrices and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .24<o:p></o:p>1.5.2 Main theorem of invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26<o:p></o:p>1.5.3 A method for finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .27<o:p></o:p>1.6 FurtherResults on Systems and Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 28<o:p></o:p>1.6.1 A basic theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .28<o:p></o:p>1.6.2Properties of invertible matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 29<o:p></o:p>1.7 Some Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>1.7.1 Diagonal and triangular matrices . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>1.7.2 Symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<o:p></o:p>Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .35<o:p></o:p>Chapter 2 Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42<o:p></o:p>2.1Determinant Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<o:p></o:p>2.1.1Permutation, inversion, and elementary product . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 42<o:p></o:p>2.1.2Definition of determinant function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2Evaluation of Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2.1Elementary theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2.2 A method for evaluating determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 46<o:p></o:p>2.3Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<o:p></o:p>2.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 47<o:p></o:p>2.3.2Determinant of a matrix product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>2.3.3Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<o:p></o:p>2.4Cofactor Expansions and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.1Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.2Cofactor expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.3Adjoint of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<o:p></o:p>2.4.4Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<o:p></o:p>Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55<o:p></o:p>Chapter 3Euclidean Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>3.1Euclidean n-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>3.1.1n-vector space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61<o:p></o:p>3.1.2Euclidean n-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<o:p></o:p>3.1.3 Norm,distance, angle, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 63<o:p></o:p>3.1.4 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 65<o:p></o:p>3.2 LinearTransformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .66<o:p></o:p>3.2.1 Lineartransformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 66<o:p></o:p>3.2.2 Some important linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67<o:p></o:p>3.2.3Compositions of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>3.3Properties of Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .70<o:p></o:p>3.3.1Linearity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<o:p></o:p>3.3.2Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71<o:p></o:p>3.3.3One-to-one transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 72<o:p></o:p>3.3.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<o:p></o:p>Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74<o:p></o:p>Chapter 4General Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 79<o:p></o:p>4.1 Real Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<o:p></o:p>4.1.1Vector space axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 794.1.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 81<o:p></o:p>4.2Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<o:p></o:p>4.2.1Definition of subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>4.2.2Linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 83<o:p></o:p>4.3 LinearIndependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<o:p></o:p>4.3.1Linear independence and linear dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .86<o:p></o:p>4.3.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 87<o:p></o:p>4.4 Basis and Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .88<o:p></o:p>4.4.1 Basis for vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>4.4.2Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89<o:p></o:p>4.4.3Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<o:p></o:p>4.4.4 Some fundamental theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .93<o:p></o:p>4.4.5Dimension theorem for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>4.5 RowSpace, Column Space, and Nullspace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .97<o:p></o:p>4.5.1Definition of row space, column space, and nullspace . . . . . . . . . . . . .. . . . 97<o:p></o:p>4.5.2Relation between solutions of Ax = 0 and Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98<o:p></o:p>4.5.3 Bases for three spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 100<o:p></o:p>4.5.4 A procedure for finding a basis for span(S). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102<o:p></o:p>4.6 Rank and Nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<o:p></o:p>4.6.1 Rank and nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 104<o:p></o:p>4.6.2 Rank for matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 106<o:p></o:p>4.6.3Consistency theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .107<o:p></o:p>4.6.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<o:p></o:p>Chapter 5 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1.1General inner products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116<o:p></o:p>5.2 Angle and Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.2.1 Angle between two vectors and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119<o:p></o:p>5.2.2Properties of length, distance, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 120<o:p></o:p>5.2.3Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<o:p></o:p>5.3 Orthogonal Bases and Gram-Schmidt Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122<o:p></o:p>5.3.1Orthogonal and orthonormal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122<o:p></o:p>5.3.2Projection theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.3.3Gram-Schmidt process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .128<o:p></o:p>5.3.4QR-decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.4 Best Approximation and Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 133<o:p></o:p>5.4.1Orthogonal projections viewed as approximations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 134<o:p></o:p>5.4.2 Least squares solutions of linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 135<o:p></o:p>5.4.3Uniqueness of least squares solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .136<o:p></o:p>5.5Orthogonal Matrices and Change of Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .138<o:p></o:p>5.5.1Orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 138<o:p></o:p>5.5.2Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>Chapter 6 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 149<o:p></o:p>6.1Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 149<o:p></o:p>6.1.1Introduction to eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 149<o:p></o:p>6.1.2 Two theorems concerned with eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 150<o:p></o:p>6.1.3 Bases for eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 151<o:p></o:p>6.2Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<o:p></o:p>6.2.1Diagonalization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 152<o:p></o:p>6.2.2Procedure for diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 153<o:p></o:p>6.2.3 Two theorems concerned with diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 155<o:p></o:p>6.3Orthogonal Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 156<o:p></o:p>6.4 Jordan Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 160<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>Chapter 7 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1 General Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1.1Introduction to linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1.2Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<o:p></o:p>7.2 Kerneland Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 170<o:p></o:p>7.2.1Kernel and range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .170<o:p></o:p>7.2.2 Rankand nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 172<o:p></o:p>7.2.3Dimension theorem for linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 173<o:p></o:p>7.3 InverseLinear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 174<o:p></o:p>7.3.1One-to-one and onto linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .174<o:p></o:p>7.3.2Inverse linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 176<o:p></o:p>7.4Matrices of General Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .177<o:p></o:p>7.4.1Matrices of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 177<o:p></o:p>7.4.2Matrices of compositions and inverse transformations . . . . . . . . . . . . .. . 181<o:p></o:p>7.5Similarity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184<o:p></o:p>Chapter 8 Additional Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1.1Introduction to quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1.2Constrained extremum problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.1.3Positive definite matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>8.2 ThreeTheorems for Symmetric Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194<o:p></o:p>8.3 Complex Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 198<o:p></o:p>8.3.1Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 198<o:p></o:p>8.3.2Complex inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 200<o:p></o:p>8.4Hermitian Matrices and Unitary Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 201<o:p></o:p>8.5Böttcher-Wenzel Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>8.5.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>8.5.2 Proofof the Böttcher-Wenzel conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 205<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209<o:p></o:p>Appendix A Independence of Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 214<o:p></o:p>Bibliography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217<o:p></o:p>Index . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219<o:p></o:p> Chapter 1Linear Systems and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1<o:p></o:p>1.1Introduction to Linear Systems and Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .1<o:p></o:p>1.1.1Linear equations and linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1<o:p></o:p>1.1.2Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3<o:p></o:p>1.1.3Elementary row operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4<o:p></o:p>1.2Gauss-Jordan Elimination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5<o:p></o:p>1.2.1Reduced row-echelon form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .5<o:p></o:p>1.2.2Gauss-Jordan elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6<o:p></o:p>1.2.3Homogeneous linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .9<o:p></o:p>1.3 MatrixOperations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>1.3.1 Operations on matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 11<o:p></o:p>1.3.2Partition of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .13<o:p></o:p>1.3.3Matrix product by columns and by rows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13<o:p></o:p>1.3.4Matrix product of partitioned matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14<o:p></o:p>1.3.5Matrix form of a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 15<o:p></o:p>1.3.6Transpose and trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16<o:p></o:p>1.4 Rules of Matrix Operations and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18<o:p></o:p>1.4.1 Basic properties of matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19<o:p></o:p>1.4.2Identity matrix and zero matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20<o:p></o:p>1.4.3Inverse of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<o:p></o:p>1.4.4Powers of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<o:p></o:p>1.5 Elementary Matrices and a Method for Finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24<o:p></o:p>1.5.1Elementary matrices and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .24<o:p></o:p>1.5.2 Main theorem of invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26<o:p></o:p>1.5.3 A method for finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .27<o:p></o:p>1.6 Further Results on Systems and Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 28<o:p></o:p>1.6.1 A basic theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .28<o:p></o:p>1.6.2Properties of invertible matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 29<o:p></o:p>1.7 Some Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<o:p></o:p>1.7.1 Diagonal and triangular matrices . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32<o:p></o:p>1.7.2 Symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<o:p></o:p>Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .35<o:p></o:p>Chapter 2 Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42<o:p></o:p>2.1Determinant Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42<o:p></o:p>2.1.1Permutation, inversion, and elementary product . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 42<o:p></o:p>2.1.2Definition of determinant function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2Evaluation of Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2.1Elementary theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44<o:p></o:p>2.2.2 Amethod for evaluating determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 46<o:p></o:p>2.3Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46<o:p></o:p>2.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 47<o:p></o:p>2.3.2Determinant of a matrix product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48<o:p></o:p>2.3.3Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50<o:p></o:p>2.4Cofactor Expansions and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.1Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.2Cofactor expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 51<o:p></o:p>2.4.3Adjoint of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53<o:p></o:p>2.4.4Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<o:p></o:p>Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55<o:p></o:p>Chapter 3 Euclidean Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>3.1Euclidean n-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61<o:p></o:p>3.1.1n-vector space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61<o:p></o:p>3.1.2Euclidean n-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62<o:p></o:p>3.1.3 Norm,distance, angle, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 63<o:p></o:p>3.1.4 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 65<o:p></o:p>3.2 LinearTransformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .66<o:p></o:p>3.2.1Linear transformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 66<o:p></o:p>3.2.2 Some important linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67<o:p></o:p>3.2.3Compositions of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69<o:p></o:p>3.3Properties of Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .70<o:p></o:p>3.3.1Linearity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<o:p></o:p>3.3.2Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71<o:p></o:p>3.3.3One-to-one transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 72<o:p></o:p>3.3.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<o:p></o:p>Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74<o:p></o:p>Chapter 4General Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 79<o:p></o:p>4.1 Real Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79<o:p></o:p>4.1.1Vector space axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 79<o:p></o:p>4.1.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 81<o:p></o:p>4.2Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<o:p></o:p>4.2.1Definition of subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82<o:p></o:p>4.2.2Linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 83<o:p></o:p>4.3 Linear Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<o:p></o:p>4.3.1Linear independence and linear dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .86<o:p></o:p>4.3.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 87<o:p></o:p>4.4 Basis and Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .88<o:p></o:p>4.4.1 Basis for vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 88<o:p></o:p>4.4.2Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89<o:p></o:p>4.4.3Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91<o:p></o:p>4.4.4 Some fundamental theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .93<o:p></o:p>4.4.5Dimension theorem for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 95<o:p></o:p>4.5 RowSpace, Column Space, and Nullspace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .97<o:p></o:p>4.5.1Definition of row space, column space, and nullspace . . . . . . . . . . . . .. . . . 97<o:p></o:p>4.5.2Relation between solutions of Ax = 0 and Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98<o:p></o:p>4.5.3 Bases for three spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 100<o:p></o:p>4.5.4 Aprocedure for finding a basis for span(S). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102<o:p></o:p>4.6 Rank and Nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103<o:p></o:p>4.6.1 Rank and nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 104<o:p></o:p>4.6.2 Rank for matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 106<o:p></o:p>4.6.3Consistency theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .107<o:p></o:p>4.6.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110<o:p></o:p>Chapter 5 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1.1General inner products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 115<o:p></o:p>5.1.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116<o:p></o:p>5.2 Angle and Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119<o:p></o:p>5.2.1 Angle between two vectors and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119<o:p></o:p>5.2.2Properties of length, distance, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 120<o:p></o:p>5.2.3Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121<o:p></o:p>5.3Orthogonal Bases and Gram-Schmidt Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122<o:p></o:p>5.3.1Orthogonal and orthonormal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122<o:p></o:p>5.3.2Projection theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 125<o:p></o:p>5.3.3Gram-Schmidt process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .128<o:p></o:p>5.3.4QR-decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130<o:p></o:p>5.4 Best Approximation and Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 133<o:p></o:p>5.4.1Orthogonal projections viewed as approximations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 134<o:p></o:p>5.4.2 Least squares solutions of linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 135<o:p></o:p>5.4.3Uniqueness of least squares solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .136<o:p></o:p>5.5Orthogonal Matrices and Change of Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .138<o:p></o:p>5.5.1Orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 138<o:p></o:p>5.5.2Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144<o:p></o:p>Chapter 6 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 149<o:p></o:p>6.1Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 149<o:p></o:p>6.1.1 Introduction to eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149<o:p></o:p>6.1.2 Two theorems concerned with eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 150<o:p></o:p>6.1.3 Bases for eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 151<o:p></o:p>6.2Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152<o:p></o:p>6.2.1Diagonalization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 152<o:p></o:p>6.2.2Procedure for diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 153<o:p></o:p>6.2.3 Two theorems concerned with diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 155<o:p></o:p>6.3 Orthogonal Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 156<o:p></o:p>6.4 Jordan Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 160<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162<o:p></o:p>Chapter 7 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1 GeneralLinear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1.1Introduction to linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 166<o:p></o:p>7.1.2Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169<o:p></o:p>7.2 Kernel and Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 170<o:p></o:p>7.2.1Kernel and range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .170<o:p></o:p>7.2.2 Rank and nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 172<o:p></o:p>7.2.3Dimension theorem for linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 173<o:p></o:p>7.3 Inverse Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 174<o:p></o:p>7.3.1One-to-one and onto linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .174<o:p></o:p>7.3.2Inverse linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 176<o:p></o:p>7.4Matrices of General Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .177<o:p></o:p>7.4.1Matrices of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 177<o:p></o:p>7.4.2Matrices of compositions and inverse transformations . . . . . . . . . . . . .. . 181<o:p></o:p>7.5Similarity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182<o:p></o:p>Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184<o:p></o:p>Chapter 8Additional Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1.1Introduction to quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 190<o:p></o:p>8.1.2Constrained extremum problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191<o:p></o:p>8.1.3Positive definite matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 193<o:p></o:p>8.2 ThreeTheorems for Symmetric Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194<o:p></o:p>8.3 Complex Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 198<o:p></o:p>8.3.1Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 198<o:p></o:p>8.3.2Complex inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 200<o:p></o:p>8.4Hermitian Matrices and Unitary Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 201<o:p></o:p>8.5 Böttcher-Wenzel Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 204<o:p></o:p>8.5.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205<o:p></o:p>8.5.2 Proof of the Böttcher-Wenzel conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 205<o:p></o:p>Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 209<o:p></o:p>Appendix A Independence of Axioms . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214<o:p></o:p>Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .217<o:p></o:p>Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 219<o:p></o:p><div> </div> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1306/9782759830459/an-introduction-to-linear-algebra 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/821/original/9782759830442-IntroductionLinearAlgebra_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T181942+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/821/original/9782759830442-IntroductionLinearAlgebra_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T181942+0200 01 P15 EDP Sciences & Science Press 01 01 P15 EDP Sciences & Science Press 04 11 00 20221208 01 00 20221208 19 00 20221208 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759830442 15 9782759830442 WORLD 08 EDP Sciences & Science Press 04 01 00 20221208 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 55.99 01 5.50 2.92 EUR 04 06 01 02 1 00 195.99 01 5.50 2.92 EUR 01 04 06 01 02 1 00 214.99 01 5.50 11.21 USD 01