EDP Sciences 1777529029 20260430 fre

laboutique.edpsciences.fr-002259 03 01 01 002259 03 9782759831395 15 9782759831395 00 BA 02 15 mm 01 23 mm 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Analyse et équations aux dérivées partielles 1 A01 01 A2141 Thomas Alazard Alazard, Thomas Thomas Alazard Thomas Alazard est directeur de recherche au CNRS et professeur associé à l’ENS Paris-Saclay. Ses recherches portent sur l’analyse des équations aux dérivées partielles. 01 fre 00 446 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Mathématiques;analyse fonctionnelle;analyse harmonique;analyse micro-locale;théorie des équations;dérivée partielle;théorème;dérivée hyperbolique;dérivée dispersive 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 05 06 05 00 Cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse. Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles .Des exercices complètent cette présentation . 03 00 <blockquote>Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.</blockquote> Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres. 04 00 Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Partie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Partie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31115. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85iv TABLE DES MATIÈRESPartie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203TABLE DES MATIÈRES vPartie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311vi TABLE DES MATIÈRES15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1338/9782759831401/analyse-et-equations-aux-derivees-partielles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/932/original/9782759831395-DeriveesPartielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T173310+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20230615 01 00 20230615 19 00 20230615 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759831401 15 9782759831401 27 03 9782759831418 15 9782759831418 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20230615 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 59.00 01 5.50 3.08 EUR laboutique.edpsciences.fr-R001892 03 01 01 R001892 00 ED E107 00 01 01 Analyse et équations aux dérivées partielles 01 fre 08 448 03 22 3811678 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20230615 02 01 002260 03 9782759831401 15 9782759831401 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002260 03 01 01 002260 03 9782759831401 15 9782759831401 10 EA E107 10 00 01 R001892 ED E107 1 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Analyse et équations aux dérivées partielles 1 A01 01 A2141 Thomas Alazard Alazard, Thomas Thomas Alazard Thomas Alazard est directeur de recherche au CNRS et professeur associé à l’ENS Paris-Saclay. Ses recherches portent sur l’analyse des équations aux dérivées partielles. 01 fre 08 445 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Mathématiques;analyse fonctionnelle;analyse harmonique;analyse micro-locale;théorie des équations;dérivée partielle;théorème;dérivée hyperbolique;dérivée dispersive 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 05 06 05 00 Cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse. Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles .Des exercices complètent cette présentation . 03 00 <blockquote>Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.</blockquote> Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres. 04 00 Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Partie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Partie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31115. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85iv TABLE DES MATIÈRESPartie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203TABLE DES MATIÈRES vPartie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311vi TABLE DES MATIÈRES15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1338/9782759831401/analyse-et-equations-aux-derivees-partielles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/932/original/9782759831395-DeriveesPartielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T173310+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20230615 01 00 20230615 19 00 20230615 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759831395 15 9782759831395 06 03 9782759831418 15 9782759831418 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20230615 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 40.99 01 5.50 2.14 EUR 04 06 01 02 1 00 143.99 01 5.50 2.14 EUR 01 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 8.29 USD 01 laboutique.edpsciences.fr-002278 03 01 01 002278 03 9782759831418 15 9782759831418 10 EA 10 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Analyse et équations aux dérivées partielles 1 A01 01 A2141 Thomas Alazard Alazard, Thomas Thomas Alazard Thomas Alazard est directeur de recherche au CNRS et professeur associé à l’ENS Paris-Saclay. Ses recherches portent sur l’analyse des équations aux dérivées partielles. 01 fre 08 446 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Mathématiques;analyse fonctionnelle;analyse harmonique;analyse micro-locale;théorie des équations;dérivée partielle;théorème;dérivée hyperbolique;dérivée dispersive 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 05 06 05 00 Cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse. Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles .Des exercices complètent cette présentation . 03 00 <blockquote>Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres.</blockquote> Basé sur plusieurs cours donnés successivement à l’ENS Paris et à l’ENS Paris-Saclay, cet ouvrage s’adresse aux élèves de master souhaitant acquérir des bases solides dans le domaine de l’analyse.Les trois premières parties couvrent les techniques fondamentales de l’analyse fonctionnelle, de l’analyse harmonique et de l’analyse microlocale. La dernière partie donne un aperçu de l’analyse des équations aux dérivées partielles en étudiant des théorèmes majeurs, tels que la solution du problème de Calderón, le théorème de régularité des équations elliptiques de De Giorgi et le théorème de propagation des singularités de Hörmander.Des exercices complètent cette présentation et proposent de prouver de nombreux résultats célèbres. 04 00 Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Partie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203Partie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31115. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii Partie I. Analyse fonctionnelle1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 472.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 783.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85iv TABLE DES MATIÈRESPartie II. Analyse harmonique4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 994.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1044.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1195.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1296. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1336.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1376.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 1446.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1486.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 1516.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1566.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1597. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 1707.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1767.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 1867.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1968.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2008.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203TABLE DES MATIÈRES vPartie III. Analyse microlocale9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2099.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 2139.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21710. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22310.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22710.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23310.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24611. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25311.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 25611.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26112. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26312.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26512.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26912.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27512.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 28413.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28513.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29213.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29414. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29514.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 29814.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30314.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311vi TABLE DES MATIÈRES15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31515.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31715.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31915.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32115.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32715.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32815.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33116. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33316.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33816.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342Partie V. Rappels et solutions des exercices17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36618. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37619. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425<div> </div> 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1338/9782759831401/analyse-et-equations-aux-derivees-partielles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/932/original/9782759831395-DeriveesPartielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T173310+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 08 11 00 20230615 01 00 20230615 19 00 20230615 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759831395 15 9782759831395 06 03 9782759831401 15 9782759831401 WORLD 08 EDP Sciences 08 01 00 20230615 03 01 D1 EDP Sciences 40 04 05 01 02 1 00 40.99 01 5.50 2.14 EUR 04 06 01 02 1 00 143.99 01 5.50 2.14 EUR 01 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 8.29 USD 01