EDP Sciences 1777380270 20260428 fre

laboutique.edpsciences.fr-002255 03 01 01 002255 03 9782759831425 15 9782759831425 00 BA 02 16 mm 01 24 mm 10 01 02 PROfil Les ouvrages de la collection « PROfil » ont pour vocation la transmission des savoirs professionnels dans différentes disciplines. Ils sont rédigés par des experts reconnus dans leurs domaines et contribuent à la formation et l'information des professionnels. 01 01 Variétés différentielles, physique et invariants topologiques 1 A01 01 A1920 Franck Jedrzejewski Jedrzejewski, Franck Franck Jedrzejewski Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA. Il enseigne à l’INSTN et à l’Université de Paris Saclay ; il est l’auteur d’une vingtaine d’ouvrages. 01 fre 00 372 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Géométrie riemannienne;mécanique analytique;relativité générale;variétés différentielles;espaces fibrés;algèbre homologique;théorie de l’indice;physique;mathématiques 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 06 06 05 03 00 <blockquote>La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.</blockquote> La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui. 02 00 Traité sur la géométrie différentielle et la topologie, outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée que la gravité ou la physique des particules 04 00 Introduction 7<o:p></o:p>1 Variétés topologiques 13<o:p></o:p>1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13<o:p></o:p>1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15<o:p></o:p>1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16<o:p></o:p>1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17<o:p></o:p>1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21<o:p></o:p>1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23<o:p></o:p>1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31<o:p></o:p>1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33<o:p></o:p>2 Groupe fondamental 39<o:p></o:p>2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39<o:p></o:p>2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41<o:p></o:p>2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43<o:p></o:p>2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45<o:p></o:p>2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50<o:p></o:p>2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54<o:p></o:p>2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56<o:p></o:p>2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58<o:p></o:p>3 Catégories et foncteurs 61<o:p></o:p>3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61<o:p></o:p>3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63<o:p></o:p>3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66<o:p></o:p>3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67<o:p></o:p>3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69<o:p></o:p>3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71<o:p></o:p>3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72<o:p></o:p>3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73<o:p></o:p>3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74<o:p></o:p>3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75<o:p></o:p>3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78<o:p></o:p>3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79<o:p></o:p>3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81<o:p></o:p>4 Variétés différentiables 85<o:p></o:p>4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85<o:p></o:p>4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90<o:p></o:p>4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92<o:p></o:p>4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93<o:p></o:p>4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95<o:p></o:p>4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96<o:p></o:p>4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97<o:p></o:p>4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101<o:p></o:p>4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103<o:p></o:p>4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105<o:p></o:p>4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106<o:p></o:p>5 Espaces fibrés 109<o:p></o:p>5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109<o:p></o:p>5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113<o:p></o:p>5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116<o:p></o:p>5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116<o:p></o:p>5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117<o:p></o:p>5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118<o:p></o:p>5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121<o:p></o:p>5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124<o:p></o:p>5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128<o:p></o:p>5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129<o:p></o:p>5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130<o:p></o:p>6 Algèbre tensorielle et extérieure 135<o:p></o:p>6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135<o:p></o:p>6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137<o:p></o:p>6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140<o:p></o:p>6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141<o:p></o:p>6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142<o:p></o:p>6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144<o:p></o:p>6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146<o:p></o:p>6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147<o:p></o:p>6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150<o:p></o:p>6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152<o:p></o:p>7 Formes différentielles 157<o:p></o:p>7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157<o:p></o:p>7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160<o:p></o:p>7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161<o:p></o:p>7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162<o:p></o:p>7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163<o:p></o:p>7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164<o:p></o:p>7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166<o:p></o:p>7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168<o:p></o:p>7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171<o:p></o:p>8 Géométrie riemannienne 175<o:p></o:p>8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175<o:p></o:p>8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180<o:p></o:p>8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185<o:p></o:p>8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186<o:p></o:p>8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188<o:p></o:p>8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193<o:p></o:p>8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194<o:p></o:p>8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198<o:p></o:p>8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203<o:p></o:p>8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207<o:p></o:p>9 Algèbre homologique 211<o:p></o:p>9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211<o:p></o:p>9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216<o:p></o:p>9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221<o:p></o:p>9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227<o:p></o:p>9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229<o:p></o:p>9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231<o:p></o:p>9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234<o:p></o:p>9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238<o:p></o:p>10 Variétés complexes 247<o:p></o:p>10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247<o:p></o:p>10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251<o:p></o:p>10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252<o:p></o:p>10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255<o:p></o:p>10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263<o:p></o:p>10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268<o:p></o:p>11 Connexions sur les fibrés 271<o:p></o:p>11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271<o:p></o:p>11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273<o:p></o:p>11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274<o:p></o:p>11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276<o:p></o:p>11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277<o:p></o:p>11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280<o:p></o:p>11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283<o:p></o:p>12 Théorie de l’indice 287<o:p></o:p>12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287<o:p></o:p>12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290<o:p></o:p>12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301<o:p></o:p>12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303<o:p></o:p>12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311<o:p></o:p>13 Systèmes hamiltoniens 315<o:p></o:p>13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315<o:p></o:p>13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320<o:p></o:p>13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323<o:p></o:p>13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328<o:p></o:p>13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333<o:p></o:p>13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336<o:p></o:p>13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341<o:p></o:p>13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343<o:p></o:p>13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345<o:p></o:p>14 Relativité générale 349<o:p></o:p>14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350<o:p></o:p>14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351<o:p></o:p>14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355<o:p></o:p>14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356<o:p></o:p>14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357<o:p></o:p>14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359<o:p></o:p>14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361<o:p></o:p>Bibliographie 365<o:p></o:p> Introduction 71 Variétés topologiques 131.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Groupe fondamental 392.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 502.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 542.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Catégories et foncteurs 613.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Variétés différentiables 854.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 854.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . . . . . 924.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 1014.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces fibrés 1095.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 1185.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Algèbre tensorielle et extérieure 1356.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1356.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . . . . 1376.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 1466.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 1506.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 Formes différentielles 1577.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . 1647.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . . . 1667.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 Géométrie riemannienne 1758.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 Algèbre homologique 2119.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Variétés complexes 24710.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811 Connexions sur les fibrés 27111.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27111.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312 Théorie de l’indice 28712.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113 Systèmes hamiltoniens 31513.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32013.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . 33313.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514 Relativité générale 34914.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 35614.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Bibliographie 365 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1336/9782759831432/varietes-differentielles-physique-et-invariants-topologiques 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/924/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172732+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/925/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-THUMBNAIL.jpg 17 14 20240913T172731+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20230608 01 00 20230608 19 00 20230608 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759831432 15 9782759831432 27 03 9782759831449 15 9782759831449 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20230608 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 59.00 01 5.50 3.08 EUR laboutique.edpsciences.fr-R001890 03 01 01 R001890 00 ED E107 00 01 01 Variétés différentielles, physique et invariants topologiques 01 fre 08 374 03 22 3211721 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20230608 02 01 002256 03 9782759831432 15 9782759831432 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002256 03 01 01 002256 03 9782759831432 15 9782759831432 10 EA E107 10 00 01 R001890 ED E107 1 10 01 02 PROfil Les ouvrages de la collection « PROfil » ont pour vocation la transmission des savoirs professionnels dans différentes disciplines. Ils sont rédigés par des experts reconnus dans leurs domaines et contribuent à la formation et l'information des professionnels. 01 01 Variétés différentielles, physique et invariants topologiques 1 A01 01 A1920 Franck Jedrzejewski Jedrzejewski, Franck Franck Jedrzejewski Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA. Il enseigne à l’INSTN et à l’Université de Paris Saclay ; il est l’auteur d’une vingtaine d’ouvrages. 01 fre 08 372 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Géométrie riemannienne;mécanique analytique;relativité générale;variétés différentielles;espaces fibrés;algèbre homologique;théorie de l’indice;physique;mathématiques 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 06 06 05 03 00 <blockquote>La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.</blockquote> La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui. 02 00 Traité sur la géométrie différentielle et la topologie, outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée que la gravité ou la physique des particules 04 00 Introduction 7<o:p></o:p>1 Variétés topologiques 13<o:p></o:p>1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13<o:p></o:p>1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15<o:p></o:p>1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16<o:p></o:p>1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17<o:p></o:p>1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21<o:p></o:p>1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23<o:p></o:p>1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31<o:p></o:p>1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33<o:p></o:p>2 Groupe fondamental 39<o:p></o:p>2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39<o:p></o:p>2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41<o:p></o:p>2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43<o:p></o:p>2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45<o:p></o:p>2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50<o:p></o:p>2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54<o:p></o:p>2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56<o:p></o:p>2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58<o:p></o:p>3 Catégories et foncteurs 61<o:p></o:p>3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61<o:p></o:p>3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63<o:p></o:p>3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66<o:p></o:p>3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67<o:p></o:p>3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69<o:p></o:p>3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71<o:p></o:p>3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72<o:p></o:p>3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73<o:p></o:p>3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74<o:p></o:p>3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75<o:p></o:p>3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78<o:p></o:p>3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79<o:p></o:p>3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81<o:p></o:p>4 Variétés différentiables 85<o:p></o:p>4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85<o:p></o:p>4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90<o:p></o:p>4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92<o:p></o:p>4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93<o:p></o:p>4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95<o:p></o:p>4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96<o:p></o:p>4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97<o:p></o:p>4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101<o:p></o:p>4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103<o:p></o:p>4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105<o:p></o:p>4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106<o:p></o:p>5 Espaces fibrés 109<o:p></o:p>5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109<o:p></o:p>5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113<o:p></o:p>5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116<o:p></o:p>5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116<o:p></o:p>5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117<o:p></o:p>5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118<o:p></o:p>5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121<o:p></o:p>5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124<o:p></o:p>5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128<o:p></o:p>5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129<o:p></o:p>5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130<o:p></o:p>6 Algèbre tensorielle et extérieure 135<o:p></o:p>6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135<o:p></o:p>6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137<o:p></o:p>6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140<o:p></o:p>6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141<o:p></o:p>6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142<o:p></o:p>6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144<o:p></o:p>6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146<o:p></o:p>6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147<o:p></o:p>6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150<o:p></o:p>6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152<o:p></o:p>7 Formes différentielles 157<o:p></o:p>7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157<o:p></o:p>7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160<o:p></o:p>7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161<o:p></o:p>7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162<o:p></o:p>7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163<o:p></o:p>7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164<o:p></o:p>7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166<o:p></o:p>7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168<o:p></o:p>7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171<o:p></o:p>8 Géométrie riemannienne 175<o:p></o:p>8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175<o:p></o:p>8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180<o:p></o:p>8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185<o:p></o:p>8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186<o:p></o:p>8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188<o:p></o:p>8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193<o:p></o:p>8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194<o:p></o:p>8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198<o:p></o:p>8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203<o:p></o:p>8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207<o:p></o:p>9 Algèbre homologique 211<o:p></o:p>9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211<o:p></o:p>9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216<o:p></o:p>9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221<o:p></o:p>9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227<o:p></o:p>9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229<o:p></o:p>9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231<o:p></o:p>9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234<o:p></o:p>9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238<o:p></o:p>10 Variétés complexes 247<o:p></o:p>10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247<o:p></o:p>10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251<o:p></o:p>10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252<o:p></o:p>10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255<o:p></o:p>10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263<o:p></o:p>10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268<o:p></o:p>11 Connexions sur les fibrés 271<o:p></o:p>11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271<o:p></o:p>11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273<o:p></o:p>11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274<o:p></o:p>11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276<o:p></o:p>11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277<o:p></o:p>11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280<o:p></o:p>11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283<o:p></o:p>12 Théorie de l’indice 287<o:p></o:p>12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287<o:p></o:p>12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290<o:p></o:p>12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301<o:p></o:p>12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303<o:p></o:p>12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311<o:p></o:p>13 Systèmes hamiltoniens 315<o:p></o:p>13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315<o:p></o:p>13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320<o:p></o:p>13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323<o:p></o:p>13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328<o:p></o:p>13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333<o:p></o:p>13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336<o:p></o:p>13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341<o:p></o:p>13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343<o:p></o:p>13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345<o:p></o:p>14 Relativité générale 349<o:p></o:p>14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350<o:p></o:p>14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351<o:p></o:p>14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355<o:p></o:p>14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356<o:p></o:p>14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357<o:p></o:p>14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359<o:p></o:p>14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361<o:p></o:p>Bibliographie 365<o:p></o:p> Introduction 71 Variétés topologiques 131.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Groupe fondamental 392.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 502.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 542.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Catégories et foncteurs 613.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Variétés différentiables 854.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 854.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . . . . . 924.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 1014.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces fibrés 1095.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 1185.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Algèbre tensorielle et extérieure 1356.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1356.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . . . . 1376.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 1466.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 1506.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 Formes différentielles 1577.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . 1647.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . . . 1667.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 Géométrie riemannienne 1758.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 Algèbre homologique 2119.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Variétés complexes 24710.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811 Connexions sur les fibrés 27111.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27111.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312 Théorie de l’indice 28712.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113 Systèmes hamiltoniens 31513.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32013.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . 33313.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514 Relativité générale 34914.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 35614.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Bibliographie 365 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1336/9782759831432/varietes-differentielles-physique-et-invariants-topologiques 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/924/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172732+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/925/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-THUMBNAIL.jpg 17 14 20240913T172731+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20230608 01 00 20230608 19 00 20230608 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759831425 15 9782759831425 06 03 9782759831449 15 9782759831449 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20230608 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 40.99 01 5.50 2.14 EUR 04 06 01 02 1 00 143.99 01 5.50 2.14 EUR 01 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 8.29 USD 01 laboutique.edpsciences.fr-002276 03 01 01 002276 03 9782759831449 15 9782759831449 10 EA 10 10 01 02 PROfil Les ouvrages de la collection « PROfil » ont pour vocation la transmission des savoirs professionnels dans différentes disciplines. Ils sont rédigés par des experts reconnus dans leurs domaines et contribuent à la formation et l'information des professionnels. 01 01 Variétés différentielles, physique et invariants topologiques 1 A01 01 A1920 Franck Jedrzejewski Jedrzejewski, Franck Franck Jedrzejewski Franck Jedrzejewski, mathématicien, est enseignant-chercheur au CEA. Il enseigne à l’INSTN et à l’Université de Paris Saclay ; il est l’auteur d’une vingtaine d’ouvrages. 01 fre 08 372 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Géométrie riemannienne;mécanique analytique;relativité générale;variétés différentielles;espaces fibrés;algèbre homologique;théorie de l’indice;physique;mathématiques 10 2011 MAT002000 29 3052 01 510 06 06 05 03 00 <blockquote>La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.</blockquote> La géométrie différentielle et la topologie sont devenues des outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée, que la gravité ou la physique des particules. Après une présentation des outils mathématiques, nous développons dans ce livre deux applications importantes : la mécanique analytique et la relativité générale, qui, toutes deux, utilisent les concepts de la géométrie riemannienne. Partant de connaissances élémentaires, l’ouvrage propose un parcours singulier autour des variétés différentielles et des espaces fibrés, en privilégiant les applications et en négligeant volontairement les démonstrations trop techniques. Il ouvre de vastes perspectives, et introduit des méthodes comme celles de l’algèbre homologique ou de la théorie de l’indice, qui ont été au cœur des résultats les plus récents. Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou physiciens. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’à tous ceux qui cherchent un formalisme puissant pour comprendre la physique contemporaine. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au cœur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui. 02 00 Traité sur la géométrie différentielle et la topologie, outils indispensables dans de nombreux domaines de la physique théorique, intéressant aussi bien la physique de la matière condensée que la gravité ou la physique des particules 04 00 Introduction 7<o:p></o:p>1 Variétés topologiques 13<o:p></o:p>1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13<o:p></o:p>1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15<o:p></o:p>1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16<o:p></o:p>1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17<o:p></o:p>1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21<o:p></o:p>1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23<o:p></o:p>1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31<o:p></o:p>1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33<o:p></o:p>2 Groupe fondamental 39<o:p></o:p>2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39<o:p></o:p>2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41<o:p></o:p>2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43<o:p></o:p>2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45<o:p></o:p>2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50<o:p></o:p>2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54<o:p></o:p>2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56<o:p></o:p>2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58<o:p></o:p>3 Catégories et foncteurs 61<o:p></o:p>3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61<o:p></o:p>3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63<o:p></o:p>3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66<o:p></o:p>3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67<o:p></o:p>3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69<o:p></o:p>3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71<o:p></o:p>3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72<o:p></o:p>3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73<o:p></o:p>3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74<o:p></o:p>3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75<o:p></o:p>3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78<o:p></o:p>3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79<o:p></o:p>3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81<o:p></o:p>4 Variétés différentiables 85<o:p></o:p>4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85<o:p></o:p>4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90<o:p></o:p>4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92<o:p></o:p>4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93<o:p></o:p>4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95<o:p></o:p>4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96<o:p></o:p>4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97<o:p></o:p>4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101<o:p></o:p>4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103<o:p></o:p>4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105<o:p></o:p>4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106<o:p></o:p>5 Espaces fibrés 109<o:p></o:p>5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109<o:p></o:p>5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113<o:p></o:p>5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116<o:p></o:p>5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116<o:p></o:p>5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117<o:p></o:p>5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118<o:p></o:p>5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121<o:p></o:p>5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124<o:p></o:p>5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128<o:p></o:p>5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129<o:p></o:p>5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130<o:p></o:p>6 Algèbre tensorielle et extérieure 135<o:p></o:p>6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135<o:p></o:p>6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137<o:p></o:p>6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140<o:p></o:p>6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141<o:p></o:p>6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142<o:p></o:p>6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144<o:p></o:p>6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146<o:p></o:p>6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147<o:p></o:p>6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150<o:p></o:p>6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152<o:p></o:p>7 Formes différentielles 157<o:p></o:p>7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157<o:p></o:p>7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160<o:p></o:p>7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161<o:p></o:p>7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162<o:p></o:p>7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163<o:p></o:p>7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164<o:p></o:p>7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166<o:p></o:p>7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168<o:p></o:p>7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171<o:p></o:p>8 Géométrie riemannienne 175<o:p></o:p>8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175<o:p></o:p>8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180<o:p></o:p>8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185<o:p></o:p>8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186<o:p></o:p>8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188<o:p></o:p>8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193<o:p></o:p>8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194<o:p></o:p>8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198<o:p></o:p>8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203<o:p></o:p>8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207<o:p></o:p>9 Algèbre homologique 211<o:p></o:p>9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211<o:p></o:p>9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216<o:p></o:p>9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221<o:p></o:p>9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227<o:p></o:p>9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229<o:p></o:p>9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231<o:p></o:p>9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234<o:p></o:p>9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238<o:p></o:p>10 Variétés complexes 247<o:p></o:p>10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247<o:p></o:p>10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251<o:p></o:p>10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252<o:p></o:p>10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255<o:p></o:p>10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263<o:p></o:p>10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268<o:p></o:p>11 Connexions sur les fibrés 271<o:p></o:p>11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271<o:p></o:p>11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273<o:p></o:p>11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274<o:p></o:p>11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276<o:p></o:p>11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277<o:p></o:p>11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280<o:p></o:p>11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283<o:p></o:p>12 Théorie de l’indice 287<o:p></o:p>12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287<o:p></o:p>12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290<o:p></o:p>12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301<o:p></o:p>12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303<o:p></o:p>12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311<o:p></o:p>13 Systèmes hamiltoniens 315<o:p></o:p>13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315<o:p></o:p>13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320<o:p></o:p>13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323<o:p></o:p>13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328<o:p></o:p>13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333<o:p></o:p>13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336<o:p></o:p>13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341<o:p></o:p>13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343<o:p></o:p>13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345<o:p></o:p>14 Relativité générale 349<o:p></o:p>14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350<o:p></o:p>14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351<o:p></o:p>14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355<o:p></o:p>14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356<o:p></o:p>14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357<o:p></o:p>14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359<o:p></o:p>14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361<o:p></o:p>Bibliographie 365<o:p></o:p> Introduction 71 Variétés topologiques 131.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Groupe fondamental 392.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 502.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 542.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Catégories et foncteurs 613.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Variétés différentiables 854.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 854.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . . . . . 924.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 1014.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces fibrés 1095.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 1185.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Algèbre tensorielle et extérieure 1356.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1356.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . . . . 1376.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 1466.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 1506.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 Formes différentielles 1577.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . 1647.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . . . 1667.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 Géométrie riemannienne 1758.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 Algèbre homologique 2119.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Variétés complexes 24710.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811 Connexions sur les fibrés 27111.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27111.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312 Théorie de l’indice 28712.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113 Systèmes hamiltoniens 31513.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32013.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . 33313.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514 Relativité générale 34914.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 35614.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Bibliographie 365 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1336/9782759831432/varietes-differentielles-physique-et-invariants-topologiques 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/924/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172732+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/982/925/original/9782759831425-VarietesDifferentielles_couv-THUMBNAIL.jpg 17 14 20240913T172731+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 08 11 00 20230608 01 00 20230608 19 00 20230608 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759831425 15 9782759831425 06 03 9782759831432 15 9782759831432 WORLD 08 EDP Sciences 08 01 00 20230608 03 01 D1 EDP Sciences 40 04 05 01 02 1 00 40.99 01 5.50 2.14 EUR 04 06 01 02 1 00 143.99 01 5.50 2.14 EUR 01 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 8.29 USD 01