EDP Sciences 1776327683 20260416 fre

laboutique.edpsciences.fr-002767 03 01 01 002767 03 9782759835645 15 9782759835645 00 BA 02 160 mm 01 240 mm 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Symétries continues 2ème édition , révisée et augmentée 1 A01 01 A18 Franck Laloë Laloë, Franck Franck Laloë Franck Laloë est directeur de recherche émérite au CNRS. Il travaille à l’École normale supérieure de Paris dans le laboratoire Kastler Brossel, à la pointe de la physique quantique. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale.Avec Claude Cohen-Tannoudji et Bernard Diu, il est également co-auteur de l’ouvrage Mécanique Quantique (tomes I, II et III) disponible dans la collection Savoirs Actuels, devenu un classique dans les universités françaises et étrangères.<div> </div>  Franck Laloë a été maître-assistant attaché aux cours de mécanique quantique, puis chercheur CNRS au sein du Laboratoire Kastler Brossel. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale. 2 01 fre 00 596 03 01 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 translations d’espace;translations de temps;rotations d’espace;transformations de Galilée;transformations de Lorentz;structure de l’espace-temps;symétries;mécanique quantique;opérateurs fondamentaux;énergie;position;impulsion;moment angulaire;géométrie de l’espace;origine de la masse;origine du spin;équation de Schrödinger;équation de Dirac;groupe d’invariance;Galilée;Lorentz;particules de spin 1/2;moment magnétique anormal;théorème de Wigner-Eckart;opérateurs tensoriels irréductibles;symétries discrètes;parité;renversement du temps;invariance relativiste des équations d’onde;équation de Weyl;théorie des champs. 10 2011 BISACSCI057000 01 539 05 06 06 03 00 <blockquote>Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII. Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.</blockquote><div> </div> Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII.Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.<div> </div> 02 00 Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de divers problèmes. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments (dont l’équation de Weyl),et des notions utiles pour aborder d’autres ouvrages plus complexes. 04 00 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite non relativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variablescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45***********II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur deCasimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finiedes groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré :masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite nonrelativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états deDirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équationsd’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques,spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par unematrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicitéde moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurstensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombrequantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’unvecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état parpermutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516***********X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1423/9782759835652/symetries-continues 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/211/original/9782759835645-Symetries2_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172801+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/212/original/9782759835645-Symetries2_thumbnail.jpg 17 14 20240913T172800+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20240829 01 00 20240829 19 00 20240829 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759835652 15 9782759835652 27 03 9782759835669 15 9782759835669 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20240829 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 65.00 01 5.50 3.39 EUR laboutique.edpsciences.fr-R002622 03 01 01 R002622 00 ED E107 00 01 01 Symétries continues 2ème édition , révisée et augmentée 01 fre 08 597 03 22 7351798 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20240829 02 01 002768 03 9782759835652 15 9782759835652 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002768 03 01 01 002768 03 9782759835652 15 9782759835652 10 EA E107 10 00 01 R002622 ED E107 1 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Symétries continues 2ème édition , révisée et augmentée 1 A01 01 A18 Franck Laloë Laloë, Franck Franck Laloë Franck Laloë est directeur de recherche émérite au CNRS. Il travaille à l’École normale supérieure de Paris dans le laboratoire Kastler Brossel, à la pointe de la physique quantique. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale.Avec Claude Cohen-Tannoudji et Bernard Diu, il est également co-auteur de l’ouvrage Mécanique Quantique (tomes I, II et III) disponible dans la collection Savoirs Actuels, devenu un classique dans les universités françaises et étrangères.<div> </div>  Franck Laloë a été maître-assistant attaché aux cours de mécanique quantique, puis chercheur CNRS au sein du Laboratoire Kastler Brossel. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale. 2 01 fre 08 596 03 01 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 translations d’espace;translations de temps;rotations d’espace;transformations de Galilée;transformations de Lorentz;structure de l’espace-temps;symétries;mécanique quantique;opérateurs fondamentaux;énergie;position;impulsion;moment angulaire;géométrie de l’espace;origine de la masse;origine du spin;équation de Schrödinger;équation de Dirac;groupe d’invariance;Galilée;Lorentz;particules de spin 1/2;moment magnétique anormal;théorème de Wigner-Eckart;opérateurs tensoriels irréductibles;symétries discrètes;parité;renversement du temps;invariance relativiste des équations d’onde;équation de Weyl;théorie des champs. 10 2011 BISACSCI057000 01 539 05 06 06 03 00 <blockquote>Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII. Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.</blockquote><div> </div> Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII.Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.<div> </div> 02 00 Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de divers problèmes. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments (dont l’équation de Weyl),et des notions utiles pour aborder d’autres ouvrages plus complexes. 04 00 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite non relativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variablescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45***********II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur deCasimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finiedes groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré :masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite nonrelativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états deDirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équationsd’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques,spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par unematrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicitéde moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurstensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombrequantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’unvecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état parpermutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516***********X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1423/9782759835652/symetries-continues 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/211/original/9782759835645-Symetries2_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172801+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/212/original/9782759835645-Symetries2_thumbnail.jpg 17 14 20240913T172800+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20240829 01 00 20240829 19 00 20240829 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759835645 15 9782759835645 06 03 9782759835669 15 9782759835669 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20240829 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 44.99 01 5.50 2.35 EUR 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 2.35 EUR 01 04 06 01 02 1 00 174.99 01 5.50 9.12 USD 01 laboutique.edpsciences.fr-002769 03 01 01 002769 03 9782759835669 15 9782759835669 10 EA 10 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Symétries continues 2ème édition , révisée et augmentée 1 A01 01 A18 Franck Laloë Laloë, Franck Franck Laloë Franck Laloë est directeur de recherche émérite au CNRS. Il travaille à l’École normale supérieure de Paris dans le laboratoire Kastler Brossel, à la pointe de la physique quantique. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale.Avec Claude Cohen-Tannoudji et Bernard Diu, il est également co-auteur de l’ouvrage Mécanique Quantique (tomes I, II et III) disponible dans la collection Savoirs Actuels, devenu un classique dans les universités françaises et étrangères.<div> </div>  Franck Laloë a été maître-assistant attaché aux cours de mécanique quantique, puis chercheur CNRS au sein du Laboratoire Kastler Brossel. Ses travaux de recherches ont porté sur divers effets liés aux statistiques quantiques, l’orientation nucléaire de l’hélium trois par pompage optique, les ondes de spin dans les gaz à basse température, et divers aspects de la mécanique quantique fondamentale. 2 01 fre 08 596 03 01 24 Izibook:Subject Physique Générale 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Physique Générale| 20 translations d’espace;translations de temps;rotations d’espace;transformations de Galilée;transformations de Lorentz;structure de l’espace-temps;symétries;mécanique quantique;opérateurs fondamentaux;énergie;position;impulsion;moment angulaire;géométrie de l’espace;origine de la masse;origine du spin;équation de Schrödinger;équation de Dirac;groupe d’invariance;Galilée;Lorentz;particules de spin 1/2;moment magnétique anormal;théorème de Wigner-Eckart;opérateurs tensoriels irréductibles;symétries discrètes;parité;renversement du temps;invariance relativiste des équations d’onde;équation de Weyl;théorie des champs. 10 2011 BISACSCI057000 01 539 05 06 06 03 00 <blockquote>Les groupes de symétrie, ou groupes d’invariance, jouent un rôle important dans toute la physique. Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps. Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal. Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII. Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.</blockquote><div> </div> Les translations d’espace et de temps, les rotations d’espace et enfin les transformations de Galilée ou de Lorentz entre référentiels d’inertie définissent la structure de l’espace-temps. Les symétries correspondantes sont tout particulièrement importantes en mécanique quantique. En effet les opérateurs fondamentaux - énergie, position, impulsion, moment angulaire - ainsi que leurs relations de commutation, loin d’être arbitraires, sont déterminés par la géométrie de l’espace et celle de l’espace-temps.Ces considérations de symétrie permettent de comprendre l’origine de la masse et du spin et d’établir des équations d’onde comme l’équation de Schrödinger ou celle de Dirac à partir du groupe d’invariance choisi : Galilée ou Lorentz. Ces équations permettent de décrire les particules de spin 1/2 et prédisent correctement leur moment magnétique anormal.Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de problèmes comme le théorème de Wigner-Eckart ou les opérateurs tensoriels irréductibles. Enfin le livre discute de deux symétries discrètes, la parité et le renversement du temps.Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments, répartis entre les chapitres I, VI (deux compléments), VII et VIII.Ceci permet une discussion plus complète de l’invariance relativiste des équations d’onde, et en particulier l’introduction de l’équation de Weyl, absente de la première édition. Ces notions sont utiles pour créer un meilleur lien vers des ouvrages avancés consacrés spécifiquement à la théorie des champs.<div> </div> 02 00 Cet ouvrage, issu d’un cours de DEA de Physique théorique de l’ENS, a à la fois un caractère fondamental et appliqué. L’utilisation des symétries, et en particulier de celle de rotation, est un outil pratique permettant une approche géométrique de divers problèmes. Cette seconde édition inclut cinq nouveaux compléments (dont l’équation de Weyl),et des notions utiles pour aborder d’autres ouvrages plus complexes. 04 00 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite non relativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 SommaireTable des matièresPréface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ixIntroduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiiiI Transformations de symétrie 1A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 331 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36BI Théorème de Noether pour un champ classique 411 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variablescontinues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 433 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 454 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45***********II Notions sur la théorie des groupes 47A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 671 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur deCasimir 1111 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 1112 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dansL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 1154 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116IV Représentations induites dans l’espace des états 119A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135AIV Représentations projectives unitaires de dimension finiedes groupes de Lie connexes 1431 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 1442 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 1511 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1512 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré :masse, spin et énergie 159A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 1951 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1952 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 2023 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 2091 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2092 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215CV Groupe des déplacements géométriques 2171 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 2182 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227DV Réflexions d’espace (parité) 2371 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2372 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 2393 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite nonrelativiste 2771 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2772 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états deDirac 2851 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2852 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2873 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291CVI Lagrangiens et relations de conservation des équationsd’onde 2991 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3002 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3013 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3044 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307VII Groupe des rotations, moments cinétiques,spineurs 311A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 3471 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par unematrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3482 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 3493 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3504 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 3525 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 3551 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 3552 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359VIII Transformation des observables par rotation 363A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 4051 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4052 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4063 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4094 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4115 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 4116 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4127 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 4171 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 4172 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419CVIII Les moments multipolaires 4231 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 4242 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 4373 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicitéde moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurstensoriels irréductibles 4471 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4472 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4493 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4504 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombrequantique interne 5071 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’unvecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5072 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 5093 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état parpermutation 5131 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5132 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516***********X Brisures de symétrie 517A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525APPENDICE 533Renversement du temps 5331 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 5342 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5393 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 5474 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 5555 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559Bibliographie 569 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1423/9782759835652/symetries-continues 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/211/original/9782759835645-Symetries2_couv-sofedis.jpg 17 14 20240913T172801+0200 15 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/212/original/9782759835645-Symetries2_thumbnail.jpg 17 14 20240913T172800+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20240829 01 00 20240829 19 00 20240829 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759835645 15 9782759835645 06 03 9782759835652 15 9782759835652 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20240829 03 01 D1 EDP Sciences 31 04 05 01 02 1 00 44.99 01 5.50 2.35 EUR 04 06 01 02 1 00 158.99 01 5.50 2.35 EUR 01 04 06 01 02 1 00 174.99 01 5.50 9.12 USD 01