EDP Sciences 1776257731 20260415 fre

laboutique.edpsciences.fr-002820 03 01 01 002820 03 9782759836345 15 9782759836345 00 BA 02 155 mm 01 230 mm 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles 1 A01 01 A2316 Diego Chamorro Chamorro, Diego Diego Chamorro Diego Chamorro est maître de conférences à l’université d’Évry Val d’Essonne. Ses activités de recherche portent sur l’analyse mathématique des équations issues de la mécanique des fluides. 01 fre 00 400 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Modélisation;mathématique;hydrodynamique;équations de Navier-Stokes;équations aux dérivées partielles;écoulement;fluides;solutions des équations;solutions mild;solutions faibles;problèmes d’explosion;problèmes de régularité;problèmes d’unicité;équations stationnaires 10 2011 MAT002000 29 CLIL3052 29 CLIL3053 01 510 05 03 00 <blockquote>Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives. Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents.</blockquote> Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives.Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents. 02 00 Ce livre est une introduction qui donne les outils de base pour comprendre les équations de Navier-Stokes, des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue mathématique, ces équations soulèvent des problèmes qui font l’objet d’actives recherches actuellement. 04 00 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v1. Un peu d’histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 21.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 42. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 743.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 893.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 933.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Un théorème d’existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 1524.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion . . . . . . . 1604.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 1845.3. Solutions mild dans l’espace L2t F0;1H  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.4. Solutions mild dans l’espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3. Inégalité forte d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.2. Le modèle d’hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 2847.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.2. Un modèle d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 3028.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3189.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3289.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33510. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur . . . 34010.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34310.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34610.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1449/9782759836352/introduction-aux-equations-de-navier-stokes-incompressibles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/277/original/9782759836345_Navier-Stokes_couv-sofedis.jpg 17 14 20241011T103036+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20250123 01 00 20250123 19 00 20250123 2026 06 3052868830012 01 WORLD 27 03 9782759836352 15 9782759836352 27 03 9782759836369 15 9782759836369 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20250123 03 01 D1 EDP Sciences 21 04 05 01 02 1 00 55.00 01 5.50 2.87 EUR laboutique.edpsciences.fr-R002652 03 01 01 R002652 00 ED E107 00 01 01 Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles 01 fre 08 402 03 22 5663581 17 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 11 00 20250123 02 01 002821 03 9782759836352 15 9782759836352 03 01 D1 EDP Sciences 45 03 laboutique.edpsciences.fr-002821 03 01 01 002821 03 9782759836352 15 9782759836352 10 EA E107 10 00 01 R002652 ED E107 1 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles 1 A01 01 A2316 Diego Chamorro Chamorro, Diego Diego Chamorro Diego Chamorro est maître de conférences à l’université d’Évry Val d’Essonne. Ses activités de recherche portent sur l’analyse mathématique des équations issues de la mécanique des fluides. 01 fre 08 400 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Modélisation;mathématique;hydrodynamique;équations de Navier-Stokes;équations aux dérivées partielles;écoulement;fluides;solutions des équations;solutions mild;solutions faibles;problèmes d’explosion;problèmes de régularité;problèmes d’unicité;équations stationnaires 10 2011 MAT002000 29 CLIL3052 29 CLIL3053 01 510 05 03 00 <blockquote>Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives. Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents.</blockquote> Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives.Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents. 02 00 Ce livre est une introduction qui donne les outils de base pour comprendre les équations de Navier-Stokes, des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue mathématique, ces équations soulèvent des problèmes qui font l’objet d’actives recherches actuellement. 04 00 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v1. Un peu d’histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 21.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 42. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 743.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 893.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 933.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Un théorème d’existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 1524.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion . . . . . . . 1604.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 1845.3. Solutions mild dans l’espace L2t F0;1H  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.4. Solutions mild dans l’espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3. Inégalité forte d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.2. Le modèle d’hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 2847.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.2. Un modèle d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 3028.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3189.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3289.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33510. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur . . . 34010.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34310.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34610.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1449/9782759836352/introduction-aux-equations-de-navier-stokes-incompressibles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/277/original/9782759836345_Navier-Stokes_couv-sofedis.jpg 17 14 20241011T103036+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20250123 01 00 20250123 19 00 20250123 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759836345 15 9782759836345 06 03 9782759836369 15 9782759836369 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20250123 03 01 D1 EDP Sciences 20 04 05 01 02 1 00 37.99 01 5.50 1.98 EUR 04 06 01 02 1 00 133.99 01 5.50 1.98 EUR 01 04 06 01 02 1 00 147.99 01 5.50 7.72 USD 01 laboutique.edpsciences.fr-002822 03 01 01 002822 03 9782759836369 15 9782759836369 10 EA 10 10 01 02 Savoirs Actuels 1 B16 01 C4 Michèle Leduc 01 01 Introduction aux équations de Navier-Stokes incompressibles 1 A01 01 A2316 Diego Chamorro Chamorro, Diego Diego Chamorro Diego Chamorro est maître de conférences à l’université d’Évry Val d’Essonne. Ses activités de recherche portent sur l’analyse mathématique des équations issues de la mécanique des fluides. 01 fre 08 400 03 01 24 Izibook:Subject Mathématiques 24 Izibook:SubjectAndCategoryAndTags |Mathématiques| 20 Modélisation;mathématique;hydrodynamique;équations de Navier-Stokes;équations aux dérivées partielles;écoulement;fluides;solutions des équations;solutions mild;solutions faibles;problèmes d’explosion;problèmes de régularité;problèmes d’unicité;équations stationnaires 10 2011 MAT002000 29 CLIL3052 29 CLIL3053 01 510 05 03 00 <blockquote>Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives. Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents.</blockquote> Dans la modélisation mathématique de l’hydrodynamique, les équations de Navier-Stokes sont des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue purement mathématique, ces équations soulèvent des problèmes passionnants qui sont pour la plupart entièrement ouverts et qui font l’objet de recherches actuelles très actives.Issu d’un cours de Master 2 donné à l’Université Paris-Saclay, ce livre est une introduction destinée à donner les outils de base pour comprendre l’étude mathématique de ces équations. Le premier chapitre propose une rapide déduction physique de ces équations tandis que le deuxième chapitre introduit le cadre mathématique qui sera utilisé par la suite. Plusieurs types de solutions des équations de Navier-Stokes sont alors abordés : les solutions classiques dans le chapitre 3, les solutions de type mild dans les chapitres 4 et 5 et enfin les solutions faibles dans les chapitres 6 et 7. Des problèmes d’explosion, de régularité et d’unicité pour les équations stationnaires sont également étudiés. Chaque chapitre du livre se termine par des exercices qui proposent des compléments utiles ainsi quelques développements inspirés d’articles de recherche récents. 02 00 Ce livre est une introduction qui donne les outils de base pour comprendre les équations de Navier-Stokes, des équations aux dérivées partielles non linéaires qui décrivent l’écoulement de certains fluides. D’un point de vue mathématique, ces équations soulèvent des problèmes qui font l’objet d’actives recherches actuellement. 04 00 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v1. Un peu d’histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 21.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 42. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 743.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 893.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 933.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1133.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1224.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.4. Un théorème d’existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1384.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1434.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1494.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 1524.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion . . . . . . . 1604.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1694.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1714.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1725. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1815.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 1845.3. Solutions mild dans l’espace L2t F0;1H  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1885.4. Solutions mild dans l’espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1935.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1955.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1966. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1996.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2006.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.3. Inégalité forte d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2326.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2406.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2646.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2657. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2697.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2707.2. Le modèle d’hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2727.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2757.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 2847.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2867.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2897.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2908. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2958.2. Un modèle d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2968.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2988.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 3028.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3098.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3109. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3159.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3189.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3219.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3289.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3349.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33510. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33910.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur . . . 34010.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34310.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34610.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36710.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36810.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 21 00 06 01 https://laboutique.edpsciences.fr/produit/1449/9782759836352/introduction-aux-equations-de-navier-stokes-incompressibles 01 00 03 02 https://laboutique.edpsciences.fr/system/product_pictures/data/009/983/277/original/9782759836345_Navier-Stokes_couv-sofedis.jpg 17 14 20241011T103036+0200 01 P1 EDP Sciences 01 01 P1 EDP Sciences 17 avenue du Hoggar - PA de Courtaboeuf - 91944 Les Ulis cedex A http://publications.edpsciences.org/ 04 11 00 20250123 01 00 20250123 19 00 20250123 2026 06 3052868830012 01 WORLD 13 03 9782759836345 15 9782759836345 06 03 9782759836352 15 9782759836352 WORLD 08 EDP Sciences 04 01 00 20250123 03 01 D1 EDP Sciences 31 04 05 01 02 1 00 37.99 01 5.50 1.98 EUR 04 06 01 02 1 00 133.99 01 5.50 1.98 EUR 01 04 06 01 02 1 00 147.99 01 5.50 7.72 USD 01