EDP Sciences
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Enseignement SUP-Physique
Cette collection s’adresse aux étudiants de niveau Licence et Master, et/ou classes préparatoires aux grandes écoles. Cette collection est dirigée par Fabrice Mortessagne.
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MÉCANIQUE ANALYTIQUE DE LAGRANGE
Cours et recueils d’examens corrigés
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A01
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A2317
Rachid Mesrar
Mesrar, Rachid
Rachid
Mesrar
<p>Rachid Mesrar est professeur de l’enseignement supérieur (spécialité mécanique) à la faculté des sciences d’Agadir. Il est titulaire de deux doctorats : un doctorat de l’Université de Metz en sciences de l’ingénieur et un doctorat d’État ès science physique de l’Université Ibn Zohr d’Agadir. Il est aussi l’auteur de plusieurs ouvrages consacrés à la mécanique.</p>
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A01
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A2318
Brahim Amghar
Amghar, Brahim
Brahim
Amghar
<p>Brahim Amghar est maître de conférences (spécialité physique théorique) à la faculté des sciences d’El Jadida, Université Chouaïb Doukkali. Il est titulaire d’un master en information et cryptographie quantique et d’un doctorat en physique mathématique de l’Université Mohammed V de Rabat. Par ailleurs, ses travaux de recherche portent sur les aspects géométriques et dynamiques des corrélations quantiques.</p>
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Izibook:Subject
Physique Générale
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Mécanique;puissances virtuelles;Lagrange;exercices;équation
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<blockquote>Cet ouvrage s’organise en deux parties distinctes. <br>La première, dédiée aux notes de cours, présente un principe incontournable de la mécanique analytique : le principe des puissances virtuelles. Ce principe, et les équations de Lagrange qui en découlent, forment les bases essentielles de la mécanique lagrangienne. Pour rendre ces concepts accessibles, le texte s’enrichit d’applications concrètes, d’exemples variés et de conseils méthodologiques, offrant ainsi une approche à la fois rigoureuse et pédagogique.<br>La seconde partie rassemble une sélection de problèmes résolus, dont une grande partie est originale. Structurés en trois recueils de cinq problèmes chacun, ces exercices permettent une progression adaptée : des sujets simples pour débuter, des cas plus ardus pour approfondir, et enfin des problèmes type examen pour consolider la maîtrise des équations de Lagrange. Un outil idéal pour apprendre et s’exercer en mécanique analytique.</blockquote>
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<p>Ce livre présente le principe des puissances virtuelles dont découlent les équations de Lagrange ; il rassemble aussi une sélection de problèmes résolus, par ordre de difficulté progressive.</p>
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<p>Avant-propos 3</p><p>Partie A : notes de cours 11</p><p>1 Paramétrage et liaisons 13</p><p>1.1 Paramétrage d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.1.1 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.1.2 Cas d’un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.1.3 Cas d’un système matériel (Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.1.4 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.2.1 Paramétrage strict-Paramétrage surabondant . . . . . . . . 19</p><p>1.2.2 Liaisons holonome, non holonome et semi-holonome . . . . . 21</p><p>1.2.3 Liaison bilatérale-Liaison unilatérale . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.2.4 Liaison indépendante du temps-Liaison dépendante du temps 25</p><p>1.2.5 Liaison principale-Liaison complémentaire . . . . . . . . . . 25</p><p>1.2.6 Nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>2 Vitesses réelles et vitesses virtuelles 37</p><p>2.1 Champ de vitesses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>2.2 Champ de vitesses virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2.2.2 Expression du CVV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>2.3 Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . 44</p><p>2.3.1 Système matériel (Σ) soumis à une liaison holonome . . . . . 45</p><p>2.3.2 Système matériel (Σ) soumis à une liaison non holonome . . 50</p><p>2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>3 Principes des puissances virtuelles 63</p><p>3.1 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>3.1.1 Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>3.1.2 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>3.2 Puissance virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>3.3 Calcul pratique de la puissance virtuelle d’un système . . . . . . . . 70</p><p>3.3.1 Puissance virtuelle d’un point matériel . . . . . . . . . . . . 71</p><p>3.3.2 Puissance virtuelle d’un solide indéformable . . . . . . . . . 71</p><p>3.3.3 Puissance virtuelle d’un système matériel . . . . . . . . . . . 72</p><p>3.4 Fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.3 Fonction de force associée à la pesanteur . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.4 Fonction de force associée à un ressort élastique . . . . . . . 74</p><p>3.5 Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>3.6 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.6.2 Axiome d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>3.6.3 Intérêt de la méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . 79</p><p>3.7 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89</p><p>3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>4 Équations de Lagrange 93</p><p>4.1 Mouvements virtuels pour l’étude des systèmes de solides . . . . . . 95</p><p>4.1.1 Mouvement virtuel rigidifiant par morceaux . . . . . . . . . 95</p><p>4.1.2 Mouvement virtuel compatible avec les liaisons . . . . . . . . 98</p><p>4.1.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98</p><p>4.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99</p><p>4.2.1 Puissance virtuelle des quantités d’accélération . . . . . . . . 100</p><p>4.2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . 102</p><p>4.2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>4.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126</p><p>3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128</p><p>5 Intégrales premières du mouvement 129</p><p>5.1 Intégrales premières linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>5.1.1 Intégrale première cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>5.1.2 Intégrale première de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134</p><p>5.2 Énergie cinétique paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134</p><p>5.3 Théorème d’Euler relatif aux fonctions homogènes . . . . . . . . . . 138</p><p>5.3.1 Fonction homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</p><p>5.3.2 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</p><p>5.4 Lemme de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141</p><p>5.5 Intégrales premières quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142</p><p>5.5.1 Intégrales premières de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . 142</p><p>5.5.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143</p><p>5.5.3 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 152</p><p>5.6 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162</p><p>5.6 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163</p><p>6 Équilibre et stabilité 165</p><p>6.1 Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.2 Équilibre pour un seul paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.3 Équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.4 Équilibre strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168</p><p>6.2 Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . 168</p><p>6.2.1 Cas général : utilisation explicite des équations de mouvement du système . . . . .. . . 168</p><p>6.2.2 Cas particulier : écriture directe des équations d’équilibre . . 170</p><p>6.3 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 177</p><p>6.3.1 Stabilité au sens de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 177</p><p>6.3.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178</p><p>6.3.3 Étude pratique de l’équilibre et de la stabilité lorsqu’il y a une fonction de force . . .. . . . 179</p><p>6.4 Linéarisation des équations de Lagrange autour d’une position d’équilibre. . . . . . . 187</p><p>6.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187</p><p>6.4.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187</p><p>6.4.3 Stabilité de l’équilibre autour de qe : théorème de Liapunov . 188</p><p>6.5 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197</p><p>1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199</p><p>Partie B : recueils d’examens corrigés 201</p><p>Recueil d’examens 1 : pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202</p><p>Épreuve 1 : système composé d’une tige soudée à une demi-sphère . . . 203</p><p>Épreuve 2 : stabilité d’un cerceau autour d’une nutation uniforme . . . . 208</p><p>Épreuve 3 : étude d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 215</p><p>Épreuve 4 : mouvement d’une sphère pleine sur un plan fixe . . . . . . . 225</p><p>Épreuve 5 : disque roulant sans glissement sur un plan incliné . . . . . . 233</p><p>Recueil d’examens 2 : pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242</p><p>Épreuve 1 : système composé d’un disque, d’une tige et d’un anneau . . 243</p><p>Épreuve 2 : système composé d’un disque et d’une tige . . . . . . . . . 248</p><p>Épreuve 3 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . . 257</p><p>Épreuve 4 : mouvement d’une sphère sur une tige en rotation . . . . . . 266</p><p>Épreuve 5 : mouvement d’un ellipsoïde sur un plan lisse . . . . . . . . . 274</p><p>Recueil d’examens 3 : pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283</p><p>Épreuve 1 : glissement sans frottement d’une plaque triangulaire . . . . 284</p><p>Épreuve 2 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295</p><p>Épreuve 3 : étude d’une barre assujettie à deux rotations planes . . . . . 310</p><p>Épreuve 4 : étude d’un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 323</p><p>Épreuve 5 : mouvement d’un culbuto sur un plan tournant . . . . . . . 335</p><p>Bibliographie 353</p><p>Index alphabétique 361</p>
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Cette collection s’adresse aux étudiants de niveau Licence et Master, et/ou classes préparatoires aux grandes écoles. Cette collection est dirigée par Fabrice Mortessagne.
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MÉCANIQUE ANALYTIQUE DE LAGRANGE
Cours et recueils d’examens corrigés
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Rachid Mesrar
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Mesrar
<p>Rachid Mesrar est professeur de l’enseignement supérieur (spécialité mécanique) à la faculté des sciences d’Agadir. Il est titulaire de deux doctorats : un doctorat de l’Université de Metz en sciences de l’ingénieur et un doctorat d’État ès science physique de l’Université Ibn Zohr d’Agadir. Il est aussi l’auteur de plusieurs ouvrages consacrés à la mécanique.</p>
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Brahim Amghar
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<p>Brahim Amghar est maître de conférences (spécialité physique théorique) à la faculté des sciences d’El Jadida, Université Chouaïb Doukkali. Il est titulaire d’un master en information et cryptographie quantique et d’un doctorat en physique mathématique de l’Université Mohammed V de Rabat. Par ailleurs, ses travaux de recherche portent sur les aspects géométriques et dynamiques des corrélations quantiques.</p>
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<blockquote>Cet ouvrage s’organise en deux parties distinctes. <br>La première, dédiée aux notes de cours, présente un principe incontournable de la mécanique analytique : le principe des puissances virtuelles. Ce principe, et les équations de Lagrange qui en découlent, forment les bases essentielles de la mécanique lagrangienne. Pour rendre ces concepts accessibles, le texte s’enrichit d’applications concrètes, d’exemples variés et de conseils méthodologiques, offrant ainsi une approche à la fois rigoureuse et pédagogique.<br>La seconde partie rassemble une sélection de problèmes résolus, dont une grande partie est originale. Structurés en trois recueils de cinq problèmes chacun, ces exercices permettent une progression adaptée : des sujets simples pour débuter, des cas plus ardus pour approfondir, et enfin des problèmes type examen pour consolider la maîtrise des équations de Lagrange. Un outil idéal pour apprendre et s’exercer en mécanique analytique.</blockquote>
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<p>Ce livre présente le principe des puissances virtuelles dont découlent les équations de Lagrange ; il rassemble aussi une sélection de problèmes résolus, par ordre de difficulté progressive.</p>
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<p>Avant-propos 3</p><p>Partie A : notes de cours 11</p><p>1 Paramétrage et liaisons 13</p><p>1.1 Paramétrage d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.1.1 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15</p><p>1.1.2 Cas d’un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16</p><p>1.1.3 Cas d’un système matériel (Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.1.4 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.2.1 Paramétrage strict-Paramétrage surabondant . . . . . . . . 19</p><p>1.2.2 Liaisons holonome, non holonome et semi-holonome . . . . . 21</p><p>1.2.3 Liaison bilatérale-Liaison unilatérale . . . . . . . . . . . . . 24</p><p>1.2.4 Liaison indépendante du temps-Liaison dépendante du temps 25</p><p>1.2.5 Liaison principale-Liaison complémentaire . . . . . . . . . . 25</p><p>1.2.6 Nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26</p><p>1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34</p><p>1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36</p><p>2 Vitesses réelles et vitesses virtuelles 37</p><p>2.1 Champ de vitesses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38</p><p>2.2 Champ de vitesses virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39</p><p>2.2.2 Expression du CVV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40</p><p>2.3 Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . 44</p><p>2.3.1 Système matériel (Σ) soumis à une liaison holonome . . . . . 45</p><p>2.3.2 Système matériel (Σ) soumis à une liaison non holonome . . 50</p><p>2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59</p><p>2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61</p><p>3 Principes des puissances virtuelles 63</p><p>3.1 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>3.1.1 Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65</p><p>3.1.2 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66</p><p>3.2 Puissance virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69</p><p>3.2.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70</p><p>3.3 Calcul pratique de la puissance virtuelle d’un système . . . . . . . . 70</p><p>3.3.1 Puissance virtuelle d’un point matériel . . . . . . . . . . . . 71</p><p>3.3.2 Puissance virtuelle d’un solide indéformable . . . . . . . . . 71</p><p>3.3.3 Puissance virtuelle d’un système matériel . . . . . . . . . . . 72</p><p>3.4 Fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.3 Fonction de force associée à la pesanteur . . . . . . . . . . . 73</p><p>3.4.4 Fonction de force associée à un ressort élastique . . . . . . . 74</p><p>3.5 Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75</p><p>3.6 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78</p><p>3.6.2 Axiome d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79</p><p>3.6.3 Intérêt de la méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . 79</p><p>3.7 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89</p><p>3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91</p><p>4 Équations de Lagrange 93</p><p>4.1 Mouvements virtuels pour l’étude des systèmes de solides . . . . . . 95</p><p>4.1.1 Mouvement virtuel rigidifiant par morceaux . . . . . . . . . 95</p><p>4.1.2 Mouvement virtuel compatible avec les liaisons . . . . . . . . 98</p><p>4.1.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98</p><p>4.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99</p><p>4.2.1 Puissance virtuelle des quantités d’accélération . . . . . . . . 100</p><p>4.2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . 102</p><p>4.2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104</p><p>4.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126</p><p>3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128</p><p>5 Intégrales premières du mouvement 129</p><p>5.1 Intégrales premières linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>5.1.1 Intégrale première cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131</p><p>5.1.2 Intégrale première de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134</p><p>5.2 Énergie cinétique paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134</p><p>5.3 Théorème d’Euler relatif aux fonctions homogènes . . . . . . . . . . 138</p><p>5.3.1 Fonction homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</p><p>5.3.2 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138</p><p>5.4 Lemme de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141</p><p>5.5 Intégrales premières quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142</p><p>5.5.1 Intégrales premières de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . 142</p><p>5.5.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143</p><p>5.5.3 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 152</p><p>5.6 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162</p><p>5.6 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163</p><p>6 Équilibre et stabilité 165</p><p>6.1 Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.2 Équilibre pour un seul paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.3 Équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167</p><p>6.1.4 Équilibre strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168</p><p>6.2 Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . 168</p><p>6.2.1 Cas général : utilisation explicite des équations de mouvement du système . . . . .. . . 168</p><p>6.2.2 Cas particulier : écriture directe des équations d’équilibre . . 170</p><p>6.3 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 177</p><p>6.3.1 Stabilité au sens de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 177</p><p>6.3.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178</p><p>6.3.3 Étude pratique de l’équilibre et de la stabilité lorsqu’il y a une fonction de force . . .. . . . 179</p><p>6.4 Linéarisation des équations de Lagrange autour d’une position d’équilibre. . . . . . . 187</p><p>6.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187</p><p>6.4.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187</p><p>6.4.3 Stabilité de l’équilibre autour de qe : théorème de Liapunov . 188</p><p>6.5 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197</p><p>1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199</p><p>Partie B : recueils d’examens corrigés 201</p><p>Recueil d’examens 1 : pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202</p><p>Épreuve 1 : système composé d’une tige soudée à une demi-sphère . . . 203</p><p>Épreuve 2 : stabilité d’un cerceau autour d’une nutation uniforme . . . . 208</p><p>Épreuve 3 : étude d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 215</p><p>Épreuve 4 : mouvement d’une sphère pleine sur un plan fixe . . . . . . . 225</p><p>Épreuve 5 : disque roulant sans glissement sur un plan incliné . . . . . . 233</p><p>Recueil d’examens 2 : pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242</p><p>Épreuve 1 : système composé d’un disque, d’une tige et d’un anneau . . 243</p><p>Épreuve 2 : système composé d’un disque et d’une tige . . . . . . . . . 248</p><p>Épreuve 3 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . . 257</p><p>Épreuve 4 : mouvement d’une sphère sur une tige en rotation . . . . . . 266</p><p>Épreuve 5 : mouvement d’un ellipsoïde sur un plan lisse . . . . . . . . . 274</p><p>Recueil d’examens 3 : pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283</p><p>Épreuve 1 : glissement sans frottement d’une plaque triangulaire . . . . 284</p><p>Épreuve 2 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295</p><p>Épreuve 3 : étude d’une barre assujettie à deux rotations planes . . . . . 310</p><p>Épreuve 4 : étude d’un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 323</p><p>Épreuve 5 : mouvement d’un culbuto sur un plan tournant . . . . . . . 335</p><p>Bibliographie 353</p><p>Index alphabétique 361</p>
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