Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III
CHAPTER 1
Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Semigroups, Monoids and Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Subgroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 The Action of a Group on a Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 The Sylow Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5 Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Direct Products and Direct Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7 Simple Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.8 Nilpotent Groups and Solvable Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CHAPTER 2
Rings and Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Rings and Ring Homomorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Modules, Indecomposable Modules and Free Modules . . . . . . . . . . . . . 61
2.3 Projective Modules and Injective Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Homological Dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.5 Tensor Product and Weak Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.6 Localization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.7 Noetherian Modules and UFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.8 Finitely Generated Modules Over a PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
CHAPTER 3
Fields and Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.1 Extensions of Fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2 Splitting Fields and Normality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.3 The Fundamental Theorem of Galois Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
3.4 Radical Extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.5 Construction with Straight-Edge and Compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.6 The Hilbert Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
CHAPTER 4
Introduction to Various Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.1 Associative Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
4.2 Coassociative Coalgebras and Hopf Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.3 Nonassociative Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
CHAPTER 5
Category . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.1 Category, Limit and Colimit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.2 Functors and Natural Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
5.3 Abelian Categories and Homological Groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
VIII Contents
