Foreword . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . VII
CHAPTER 1
Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Some Basic Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 1
1.1.1 The Sobolev Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1
1.1.2 The Interpolation Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 5
1.1.3 The Poincaré Inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 6
1.1.4 The Classical Bellman–Gronwall Inequality . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 The Generalized Bellman–Gronwall Inequalities . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 The Uniform Bellman–Gronwall Inequality. . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.7 The Young Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 12
1.1.8 The Hölder Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 13
1.1.9 The Minkowski Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14
CHAPTER 2
Asymptotic Behavior of Solutions for the One-DimensionalInfrarelativistic
Model of a Compressible Viscous Gas with Radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Main Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Global Existence and Uniform-in-Time Estimates in H1 . . . . . . . . . . . 22
2.3 Asymptotic Behavior of Solutions in H1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Global Existence and Uniform-in-Time Estimates in H2 . . . . . . . . . . . 53
2.5 Asymptotic Behavior of Solutions in H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6 Global Existence and Uniform-in-Time Estimates in H4 . . . . . . . . . . . 62
2.7 Asymptotic Behavior of Solutions in H4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.8 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 85
CHAPTER 3
Global Existence and Regularity of a One-Dimensional Liquid Crystal System. . . . . . 89
3.1 Main Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Global Existence in H1 _H10_ H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Proof of Theorem 3.1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 100
3.4 Proof of Theorem 3.1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 103
3.5 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 109
CHAPTER 4
Large-time Behavior of Solutions to a One-Dimensional Liquid Crystal System. . . . . . . . 111
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 Uniform Estimates in Hi _Hi0_ Hi þ1 ði ¼1; 2Þ and H4 _H40_ H4 . . 113
4.3 Large-time Behavior in Hi _Hi0_ Hi þ1 ði ¼1; 2Þ and H4 _H40_ H4 . 122
4.4 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 134
Bibliography . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 135
Index . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 143
