Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX
CHAPTER 1
Preliminary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Some Useful Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Basic Theory of Infinite-Dimensional Dynamical Systems for Autonomous Nonlinear Evolutionary Equations . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Uniformly Compact Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Weakly Compact Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.3 X-Limit Compact Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.4 Asymptotically Compact Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2.5 Asymptotically Smooth Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.6 Norm-to-Weak Continuous Semigroups. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.7 Closed Operator Semigroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3 Basic Theory of Finite-Dimensional Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.1 The Fractal Dimension of Global Attractors . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3.2 The Estimate on Fractal Dimension of Global Attractors . . . . . 33
CHAPTER 2
Global Attractors for the Navier–Stokes–Voight Equations with Delay . . . . . 37
2.1 Global Wellposedness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Existence of Global Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.1 Dissipation: Existence of Absorbing Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Asymptotical Compactness and Existence of Attractor . . . . . . . 44
2.3 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
CHAPTER 3
Global Attractor and Its Upper Estimate on Fractal Dimension
for the 2D Navier–Stokes–Voight Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1 Global Existence of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Existence of Global Attractors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1 Existence of Absorbing Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2.2 Some Compactness and the Existence of Global Attractors . . . 56
3.3 Upper Estimate on the Fractal Dimension of Global Attractors . . . . . . 58
3.4 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CHAPTER 4
Maximal Attractor for the Equations of One-Dimensional Compressible
Polytropic Viscous Ideal Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.1 Our Problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Nonlinear Semigroup on Hð2Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Existence of an Absorbing Set in Hð1Þ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.4 Existence of an Absorbing Set in Hð2Þ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Proof of Theorem 4.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
CHAPTER 5
Universal Attractors for a Nonlinear System of Compressible
One-Dimensional Heat-Conducting Viscous Real Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1 Main Results. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Nonlinear C0-Semigroup on Hiþ ði ¼ 1; 2Þ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3 Existence of an Absorbing Set in H1d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Existence of an Absorbing Set in H2d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.5 Proof of Theorem 5.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.6 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
CHAPTER 6
Global Attractors for the Compressible Navier–Stokes Equations in Bounded Annular Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.1 Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
6.2 Nonlinear Semigroup on Hð2Þ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
6.3 Existence of an Absorbing Set in Hð1Þ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.4 Existence of an Absorbing Set in Hð2Þ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5 Existence of an Absorbing Set in Hð4Þ d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
6.6 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
CHAPTER 7
Global Attractor for a Nonlinear Thermoviscoelastic System in Shape Memory Alloys . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 149
7.1 Main Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
7.2 An Absorbing Set Bd in Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.3 Compactness of the Orbit in Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.4 Bibliographic Comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
CHAPTER 8
Global Attractors for Nonlinear Reaction–Diffusion Equations and the 2D Navier–Stokes Equations . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.1 Global Attractor for Strong Solutions of Reaction–Diffusion Equations . . 175
8.1.1 Existence of Solutions and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.1.2 Global Attractor for the Semigroup in LpðXÞ . . . . . . . . . . . . . . 176
8.1.3 Global Attractor of System in LpðXÞ and H1
0 ðXÞ . . . . . . . . . . . . 177
8.2 Global Attractors for the 2D Navier–Stokes Equations in H1
0 ðXÞ . . . . . 183
CHAPTER 9
Global Attractors for an Incompressible Fluid Equation and a Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.1 An Incompressible Fluid Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
9.2 AWave Equation with Nonlinear Damping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
9.2.1 Wellposedness of Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9.2.2 Dissipativity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
9.2.3 Asymptotic Compactness and Existence of Global Attractor . . 200
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
