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An Introduction to Linear Algebra

de Xuan LIU (auteur), Zhi ZHAO (auteur), Wei-Hui LIU (auteur), Xiao-Qing JIN (auteur)
décembre 2022
eBook [PDF]
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Présentation

Linear algebra is a core course for science and engineering students in colleges and universities. It is one of the foundations of modern mathematics and has extensive and profound applications in physics, computer science, engineering, economics, etc. This book aims to help readers acquire the basic knowledge of linear algebra and lay the ground for further study of mathematics courses. It is intended for first-year undergraduate students in engineering, science, and other areas related to mathematics. It is also suitable for self-study. This book is organized into eight chapters and the main contents include linear equations, basic operations of matrices, determinants, vector spaces, eigenvalues and eigenvectors, linear transformations, etc. In the eighth and last chapter, the authors draw on key concepts presented in the previous chapters in the book to give an elementary proof of the recently proposed Böttcher-Wenzel conjecture. In addition, the appendix provides a preliminary discussion of the independence of the axioms of vector spaces. The book provides simple exercises for tutorials and more challenging exercises for student practice.

Sommaire

Chapter 1Linear Systems and Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 1

1.1Introduction to Linear Systems and Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .1

1.1.1Linear equations and linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1

1.1.2Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3Elementary row operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2Gauss-Jordan Elimination. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.1Reduced row-echelon form. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .5

1.2.2Gauss-Jordan elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.3Homogeneous linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .9

1.3 Matrix Operations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1Operations on matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2 Partition of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .13

1.3.3Matrix product by columns and by rows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13

1.3.4Matrix product of partitioned matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 14

1.3.5Matrix form of a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 15

1.3.6Transpose and trace of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 16

1.4 Rules of Matrix Operations and Inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 18

1.4.1 Basic properties of matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 19

1.4.2Identity matrix and zero matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 20

1.4.3Inverse of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.4.4Powers of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.5Elementary Matrices and a Method for Finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24

1.5.1Elementary matrices and their properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .24

1.5.2 Main theorem of invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 26

1.5.3 A method for finding A−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .27

1.6 FurtherResults on Systems and Invertibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 28

1.6.1 A basic theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .28

1.6.2Properties of invertible matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 29

1.7 Some Special Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.7.1 Diagonal and triangular matrices . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.7.2 Symmetric matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

Exercises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .35

Chapter 2 Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

2.1Determinant Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.1.1Permutation, inversion, and elementary product . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 42

2.1.2Definition of determinant function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 44

2.2Evaluation of Determinants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.1Elementary theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.2.2 A method for evaluating determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 46

2.3Properties of Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3.2Determinant of a matrix product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48

2.3.3Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4Cofactor Expansions and Cramer’s Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 51

2.4.1Cofactors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.2Cofactor expansions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.4.3Adjoint of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4.4Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Chapter 3Euclidean Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 61

3.1Euclidean n-Space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1n-vector space. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

3.1.2Euclidean n-space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.3 Norm,distance, angle, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 63

3.1.4 Some remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2 LinearTransformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .66

3.2.1 Lineartransformations from Rn to Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 66

3.2.2 Some important linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 67

3.2.3Compositions of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 69

3.3Properties of Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .70

3.3.1Linearity conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3.2Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71

3.3.3One-to-one transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 72

3.3.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Exercises.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

Chapter 4General Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 79

4.1 Real Vector Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.1Vector space axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.1.2 Some properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2.1Definition of subspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2.2Linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3 LinearIndependence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.1Linear independence and linear dependence. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .86

4.3.2 Some theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.4 Basis and Dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .88

4.4.1 Basis for vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 88

4.4.2Coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89

4.4.3Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

4.4.4 Some fundamental theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .93

4.4.5Dimension theorem for subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 95

4.5 RowSpace, Column Space, and Nullspace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .97

4.5.1Definition of row space, column space, and nullspace . . . . . . . . . . . . .. . . . 97

4.5.2Relation between solutions of Ax = 0 and Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 98

4.5.3 Bases for three spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 100

4.5.4 A procedure for finding a basis for span(S). . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102

4.6 Rank and Nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.6.1 Rank and nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 104

4.6.2 Rank for matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 106

4.6.3Consistency theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .107

4.6.4Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Chapter 5 Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115

5.1 Inner Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.1General inner products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 115

5.1.2Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116

5.2 Angle and Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119

5.2.1 Angle between two vectors and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119

5.2.2Properties of length, distance, and orthogonality . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 120

5.2.3Complement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

5.3 Orthogonal Bases and Gram-Schmidt Process. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122

5.3.1Orthogonal and orthonormal bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 122

5.3.2Projection theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 125

5.3.3Gram-Schmidt process . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .128

5.3.4QR-decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.4 Best Approximation and Least Squares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 133

5.4.1Orthogonal projections viewed as approximations . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 134

5.4.2 Least squares solutions of linear systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 135

5.4.3Uniqueness of least squares solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .136

5.5Orthogonal Matrices and Change of Basis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .138

5.5.1Orthogonal matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.5.2Change of basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Chapter 6 Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 149

6.1Eigenvalues and Eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.1.1Introduction to eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 149

6.1.2 Two theorems concerned with eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 150

6.1.3 Bases for eigenspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 151

6.2Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.1Diagonalization problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 152

6.2.2Procedure for diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 153

6.2.3 Two theorems concerned with diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 155

6.3Orthogonal Diagonalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 156

6.4 Jordan Decomposition Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 160

Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Chapter 7 Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166

7.1 General Linear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 166

7.1.1Introduction to linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 166

7.1.2Compositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

7.2 Kerneland Range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 170

7.2.1Kernel and range . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .170

7.2.2 Rankand nullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 172

7.2.3Dimension theorem for linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 173

7.3 InverseLinear Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 174

7.3.1One-to-one and onto linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .174

7.3.2Inverse linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 176

7.4Matrices of General Linear Transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .177

7.4.1Matrices of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 177

7.4.2Matrices of compositions and inverse transformations . . . . . . . . . . . . .. . 181

7.5Similarity. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Chapter 8 Additional Topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 190

8.1Quadratic Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.1.1Introduction to quadratic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 190

8.1.2Constrained extremum problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191

8.1.3Positive definite matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 193

8.2 ThreeTheorems for Symmetric Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194

8.3 Complex Inner Product Spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 198

8.3.1Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 198

8.3.2Complex inner product spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 200

8.4Hermitian Matrices and Unitary Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 201

8.5Böttcher-Wenzel Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 204

8.5.1Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.5.2 Proofof the Böttcher-Wenzel conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 205

Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Appendix A Independence of Axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 214

Bibliography. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Index . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Compléments

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Caractéristiques

Langue(s) : Anglais

Public(s) : Etudiants

Editeur : EDP Sciences & Science Press

Collection : Current Natural Sciences

Publication : 8 décembre 2022

EAN13 (papier) : 9782759830442

Référence eBook [PDF] : L30459

EAN13 eBook [PDF] : 9782759830459

Intérieur : Noir & blanc

Nombre de pages eBook [PDF] : 236

Taille(s) : 5,1 Mo (PDF)

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