Mathématiques pour l’imagerie médicale

 

From Franck Jedrzejewski

 

EDP Sciences - Collection: PROfil - January 2021

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    Description

    Depuis une vingtaine d’années, l’imagerie médicale a fait des progrès considérables. Que ce soit dans le domaine de l’échographie, de la tomographie ou de la résonance magnétique nucléaire, les images de nos propres corps sont d’une précision sans cesse renouvelée. Les appareils sont de plus en plus performants et les algorithmes de reconstitution d’images permettent un traitement et une mise en couleurs qui sont une aide précieuse pour le diagnostic médical. 

    Partant de connaissances élémentaires, cet ouvrage propose un cours approfondi des outils mathématiques  nécessaires à l’élaboration des images médicales. Il traite à la fois de la reconstruction de ces images par des techniques déterministes ou bayésiennes, mais aussi de la mise en oeuvre de simulations pour la radiothérapie.

    Il s’appuie sur la longue expérience d’enseignement de l’auteur auprès d’étudiants en master et de futurs ingénieurs ou de physiciens des hôpitaux. C’est à eux que l’ouvrage s’adresse en priorité, ainsi qu’aux étudiants des classes préparatoires intéressés par l’imagerie. Des éléments bibliographiques complètent l’ouvrage laissant au lecteur le loisir d’approfondir quelques-uns des plus beaux thèmes de ce vaste territoire, qui est au coeur des préoccupations scientifiques d’aujourd’hui.

    Outline

    Introduction

    1 L’imagerie médicale

    1.1 Les techniques d’imagerie
    1.2 Quelques repères historiques 
    1.3 La tomodensitométrie (CT)
    1.4 La tomographie par émission monophotonique (SPECT)
    1.5 La tomographie par émission de positons (PET) 
    1.6 L’imagerie par résonance magnétique (IRM)
    1.7 Les radiopharmaceutiques 
    1.8 Les principes physiques de la tomographie
    1.9 L’échelle de Hounsfield 
    1.10 Les algorithmes de reconstruction 

    2 La transformée de Radon 25

    2.1 La transformée de Fourier
    2.2 La transformée de Radon
    2.3 Propriétés de la transformée de Radon 
    2.4 Transformée de Radon d’une ellipse
    2.5 Relation avec la transformée de Fourier 
    2.6 Inversion de la transformée de Radon 
    2.7 Transformée de Radon sur R3
    2.8 Exemples de calcul de transformée de Radon 

    3 Reconstruction analytique 43

    3.1 Projections et sinogrammes
    3.2 Théorème de la coupe centrale
    3.3 Rétroprojection 
    3.4 Rétroprojection filtrée 
    3.5 Filtrage 

    4 La transformée de Radon sur Rn 49

    4.1 Intégration sur Rn
    4.2 Propriétés de la transformée de Radon 
    4.3 Relation avec la transformée de Fourier 
    4.4 Potentiels de Riesz 
    4.5 Inversion de la transformée de Radon
    4.5.1 Cas des dimensions impaires
    4.5.2 Cas des dimensions paires
    4.6 Harmoniques sphériques 

    5 Reconstruction discrète 69

    5.1 Interpolation 
    5.1.1 L’interpolation de Lagrange
    5.1.2 L’interpolation d’Hermite
    5.1.3 L’interpolation de Tchebychev
    5.1.4 Les courbes de Bézier
    5.1.5 Les splines cubiques
    5.2 Régression linéaire
    5.3 Échantillonnage et théorème de Nyquist 
    5.4 Reconstruction discrète
    5.4.1 Reconstruction par rétroprojection filtrée
    5.4.2 Reconstruction par transformée de Fourier rapide

    6 Méthodes numériques matricielles

    6.1 Méthode de Kaczmarz 
    6.2 Conditionnement d’une matrice
    6.2.1 Propriétés du conditionnement 
    6.2.2 Estimation du conditionnement
    6.3 Méthodes directes 
    6.3.1 Méthode de Cholesky
    6.3.2 Factorisation LU 
    6.3.3 Factorisation QR et méthode de Householder 
    6.4 Méthodes itératives 
    6.4.1 Méthode de Jacobi 
    6.4.2 Méthodes de relaxation 
    6.5 Méthodes projectives 
    6.5.1 Méthode d’Arnoldi 
    6.5.2 Méthode GMRES (Generalized Minimum Residual Method)
    6.5.3 Méthode FOM (Full Orthogonal Method) 
    6.5.4 Méthode du gradient conjugué
    6.5.5 Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés

    7 Problèmes inverses

    7.1 Problèmes directs, problèmes inverses 
    7.2 Exemples de problèmes inverses
    7.3 Problèmes mal posés 
    7.4 Problèmes inverses mal posés 
    7.5 L’électro-encéphalographie
    7.6 L’échographie 

    8 Régularisation et méthodes itératives algébriques

    8.1 Équation normale
    8.2 Régularisation de Tikhonov 
    8.3 Décomposition en valeurs singulières
    8.4 Méthode de troncature spectrale
    8.5 Critère de Morozov 
    8.6 Méthode itérative de Landweber 

    9 Probabilités

    9.1 Lois de probabilités 
    9.1.1 Lois discrètes 
    9.1.2 Lois continues
    9.2 Modes de convergence des lois
    9.3 Estimateurs
    9.4 Lois conditionnelles 
    9.5 Régression multilinéaire
    9.6 Vecteurs gaussiens . 
    9.7 Tirages d’échantillons aléatoires 
    9.7.1 Méthode des congruences 
    9.7.2 Méthode de la transformée inverse . 
    9.7.3 Méthode de Box-Muller
    9.7.4 Méthode du rejet de von Neumann 
    9.7.5 Méthode de Cheng pour une loi gamma 
    9.8 Intégration par Monte-Carlo 
    9.8.1 Échantillonnage simple 
    9.8.2 Réduction de variance . 
    9.8.3 Échantillonnage suivant l’importance 
    9.9 Processus de Markov 
    9.9.1 Mouvement brownien 
    9.9.2 Chaînes de Markov 
    9.10 Algorithme de Metropolis-Hastings 
    9.11 Modèle d’Ising

    10 Méthodes itératives statistiques

    10.1 Méthode des moments 
    10.2 Méthode ML du maximum de vraisemblance 
    10.3 Méthode EM d’espérance-maximisation
    10.4 Méthode MLEM 
    10.5 Méthode OSEM

    11 Méthodes bayésiennes 

    11.1 Approches bayésiennes
    11.2 Calcul de lois a posteriori 
    11.3 Modèles bayésiens linéaires 
    11.4 Choix des lois a priori 
    11.4.1 Lois conjuguées 
    11.4.2 Lois impropres
    11.4.3 Lois de Jeffreys
    11.5 Maximum d’entropie 

    12 Simulation de radiothérapie par Monte-Carlo

    12.1 Modélisation des trajectoires 
    12.2 Interaction photon-matière 
    12.2.1 Diffusion élastique de Rayleigh 
    12.2.2 Diffusion inélastique de Compton
    12.2.3 Absorption photoélectrique 
    12.3 Algorithme de propagation en milieu inhomogène

    13 Imagerie par résonance magnétique

    13.1 Le moment magnétique
    13.2 La précession de Larmor
    13.3 Phénomènes de relaxation 
    13.4 Équations de Bloch
    13.5 Champ radiofréquence 
    13.6 Impulsions radiofréquences 
    13.7 Localisation et gradients de champ 
    13.8 Équations de Bloch-Torrey 
    13.9 Échos de spin 
    13.10 Reconstruction de l’image

    14 Traitement de l’image

    14.1 L’image numérique 
    14.2 Représentation des couleurs
    14.3 Formats de fichiers 
    14.4 Filtrage linéaire
    14.4.1 Traitement du flou 
    14.4.2 Détection de contours 
    14.4.3 Détection de points d’intérêt

    15 Segmentation de l’image

    15.1 Segmentation par seuillage
    15.1.1 Méthode d’Otsu 
    15.1.2 Méthode des k-moyennes
    15.2 Segmentation par contours
    15.2.1 Filtre de Canny
    15.2.2 Filtre de Deriche
    15.2.3 Filtre de Shen-Castan 
    15.2.4 Contours actifs 
    15.3 Segmentation par régions 
    15.3.1 Méthode de croissance de régions
    15.3.2 Méthode de découpe-fusion 
    15.4 Segmentation par optimisation stochastique 
    15.4.1 Fonctionnelle de Mumford et Shah
    15.4.2 Méthodes markoviennes
    15.4.3 Méthode du recuit simulé 

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