Mathématiques pour l’imagerie médicale

Introduction

1 L’imagerie médicale

1.1 Les techniques d’imagerie
1.2 Quelques repères historiques 
1.3 La tomodensitométrie (CT)
1.4 La tomographie par émission monophotonique (SPECT)
1.5 La tomographie par émission de positons (PET) 
1.6 L’imagerie par résonance magnétique (IRM)
1.7 Les radiopharmaceutiques 
1.8 Les principes physiques de la tomographie
1.9 L’échelle de Hounsfield 
1.10 Les algorithmes de reconstruction 

2 La transformée de Radon 25

2.1 La transformée de Fourier
2.2 La transformée de Radon
2.3 Propriétés de la transformée de Radon 
2.4 Transformée de Radon d’une ellipse
2.5 Relation avec la transformée de Fourier 
2.6 Inversion de la transformée de Radon 
2.7 Transformée de Radon sur R3
2.8 Exemples de calcul de transformée de Radon 

3 Reconstruction analytique 43

3.1 Projections et sinogrammes
3.2 Théorème de la coupe centrale
3.3 Rétroprojection 
3.4 Rétroprojection filtrée 
3.5 Filtrage 

4 La transformée de Radon sur Rn 49

4.1 Intégration sur Rn
4.2 Propriétés de la transformée de Radon 
4.3 Relation avec la transformée de Fourier 
4.4 Potentiels de Riesz 
4.5 Inversion de la transformée de Radon
4.5.1 Cas des dimensions impaires
4.5.2 Cas des dimensions paires
4.6 Harmoniques sphériques 

5 Reconstruction discrète 69

5.1 Interpolation 
5.1.1 L’interpolation de Lagrange
5.1.2 L’interpolation d’Hermite
5.1.3 L’interpolation de Tchebychev
5.1.4 Les courbes de Bézier
5.1.5 Les splines cubiques
5.2 Régression linéaire
5.3 Échantillonnage et théorème de Nyquist 
5.4 Reconstruction discrète
5.4.1 Reconstruction par rétroprojection filtrée
5.4.2 Reconstruction par transformée de Fourier rapide

6 Méthodes numériques matricielles

6.1 Méthode de Kaczmarz 
6.2 Conditionnement d’une matrice
6.2.1 Propriétés du conditionnement 
6.2.2 Estimation du conditionnement
6.3 Méthodes directes 
6.3.1 Méthode de Cholesky
6.3.2 Factorisation LU 
6.3.3 Factorisation QR et méthode de Householder 
6.4 Méthodes itératives 
6.4.1 Méthode de Jacobi 
6.4.2 Méthodes de relaxation 
6.5 Méthodes projectives 
6.5.1 Méthode d’Arnoldi 
6.5.2 Méthode GMRES (Generalized Minimum Residual Method)
6.5.3 Méthode FOM (Full Orthogonal Method) 
6.5.4 Méthode du gradient conjugué
6.5.5 Méthode du gradient conjugué pour les moindres carrés

7 Problèmes inverses

7.1 Problèmes directs, problèmes inverses 
7.2 Exemples de problèmes inverses
7.3 Problèmes mal posés 
7.4 Problèmes inverses mal posés 
7.5 L’électro-encéphalographie
7.6 L’échographie 

8 Régularisation et méthodes itératives algébriques

8.1 Équation normale
8.2 Régularisation de Tikhonov 
8.3 Décomposition en valeurs singulières
8.4 Méthode de troncature spectrale
8.5 Critère de Morozov 
8.6 Méthode itérative de Landweber 

9 Probabilités

9.1 Lois de probabilités 
9.1.1 Lois discrètes 
9.1.2 Lois continues
9.2 Modes de convergence des lois
9.3 Estimateurs
9.4 Lois conditionnelles 
9.5 Régression multilinéaire
9.6 Vecteurs gaussiens . 
9.7 Tirages d’échantillons aléatoires 
9.7.1 Méthode des congruences 
9.7.2 Méthode de la transformée inverse . 
9.7.3 Méthode de Box-Muller
9.7.4 Méthode du rejet de von Neumann 
9.7.5 Méthode de Cheng pour une loi gamma 
9.8 Intégration par Monte-Carlo 
9.8.1 Échantillonnage simple 
9.8.2 Réduction de variance . 
9.8.3 Échantillonnage suivant l’importance 
9.9 Processus de Markov 
9.9.1 Mouvement brownien 
9.9.2 Chaînes de Markov 
9.10 Algorithme de Metropolis-Hastings 
9.11 Modèle d’Ising

10 Méthodes itératives statistiques

10.1 Méthode des moments 
10.2 Méthode ML du maximum de vraisemblance 
10.3 Méthode EM d’espérance-maximisation
10.4 Méthode MLEM 
10.5 Méthode OSEM

11 Méthodes bayésiennes 

11.1 Approches bayésiennes
11.2 Calcul de lois a posteriori 
11.3 Modèles bayésiens linéaires 
11.4 Choix des lois a priori 
11.4.1 Lois conjuguées 
11.4.2 Lois impropres
11.4.3 Lois de Jeffreys
11.5 Maximum d’entropie 

12 Simulation de radiothérapie par Monte-Carlo

12.1 Modélisation des trajectoires 
12.2 Interaction photon-matière 
12.2.1 Diffusion élastique de Rayleigh 
12.2.2 Diffusion inélastique de Compton
12.2.3 Absorption photoélectrique 
12.3 Algorithme de propagation en milieu inhomogène

13 Imagerie par résonance magnétique

13.1 Le moment magnétique
13.2 La précession de Larmor
13.3 Phénomènes de relaxation 
13.4 Équations de Bloch
13.5 Champ radiofréquence 
13.6 Impulsions radiofréquences 
13.7 Localisation et gradients de champ 
13.8 Équations de Bloch-Torrey 
13.9 Échos de spin 
13.10 Reconstruction de l’image

14 Traitement de l’image

14.1 L’image numérique 
14.2 Représentation des couleurs
14.3 Formats de fichiers 
14.4 Filtrage linéaire
14.4.1 Traitement du flou 
14.4.2 Détection de contours 
14.4.3 Détection de points d’intérêt

15 Segmentation de l’image

15.1 Segmentation par seuillage
15.1.1 Méthode d’Otsu 
15.1.2 Méthode des k-moyennes
15.2 Segmentation par contours
15.2.1 Filtre de Canny
15.2.2 Filtre de Deriche
15.2.3 Filtre de Shen-Castan 
15.2.4 Contours actifs 
15.3 Segmentation par régions 
15.3.1 Méthode de croissance de régions
15.3.2 Méthode de découpe-fusion 
15.4 Segmentation par optimisation stochastique 
15.4.1 Fonctionnelle de Mumford et Shah
15.4.2 Méthodes markoviennes
15.4.3 Méthode du recuit simulé 

Bibliographie