I Transformations de symétrie 1
A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 24
AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 29
1 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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II Notions sur la théorie des groupes 37
A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 48
AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 57
1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
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III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 61
A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 86
AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 97
1 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 97
2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . 99
3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 101
4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
IV Représentations induites dans l’espace des états 105
A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états107
B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 114
D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 115
E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 120
AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 127
1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 133
1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
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V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 139
A Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
AV Quelques propriétés des opérateurs S et W2 171
1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
2 Valeurs propres de l’opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . 173
BV Groupe des déplacements géométriques 177
1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 178
2 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 190
CV Groupe de Lorentz propre 201
1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 207
3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
DV Réflexions d’espace (parité) 213
1 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
2 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 215
3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 221
A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 222
B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon et de Dirac . 234
AVI Lagrangiens des équations d’onde 245
1 Lagrangien pour un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
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VII Représentations irréductibles du groupe des rotations, spineurs 251
A Représentations unitaires irréductibles du groupe des rotations . . . 252
B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 281
AVII Homorphisme entre les matrices de SU(2) et celles de rotation 297
1 Transformation d’un vecteur P induite par une matrice de SU(2) . . . . . .. . . . . . . 297
2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 299
3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 301
5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 303
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VIII Transformation des observables par rotation 305
A Opérateurs vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
D Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels345
AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 355
1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 361
6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 367
1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 367
2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 369
CVIII Les moments multipolaires 373
1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 374
2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 387
3 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 393
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IX Groupes SU(2) et SU(3) 399
A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 401
B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . 417
C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 449
1 Antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . 449
2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 451
3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 455
1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
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X Brisures de symétrie 461
A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 462
B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
APPENDICE 477
I Le renversement du temps 477
1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 478
2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . 483
3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 491
4 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 498
5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
