Préface
1 Rappels et compléments 1
1.1 Éléments de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Suites numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Dérivée et dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Intégrale de Riemann 7
2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Complément : intégrations des fonctions de deux variables . . . 25
3 Séries numériques 31
3.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4 Produit de deux séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Intégrales généralisées 55
4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.2 Critères de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3 Formule de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.4 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Suites et séries de fonctions 75
5.1 Les différentes notions de convergence . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Les critères de Cauchy et d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3 Continuité des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.4 Théorème de la double limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.5 Intégration des limites uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.6 Dérivée de la limite d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . 84
5.7 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Fonctions définies par des intégrales 97
6.1 Fonctions définies par des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2 Fonctions définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.3 Critères de convergence uniforme des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.4 Suites définies par des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.6 Complément : intégration des fonctions définies par des intégrales généralisées .. . . . 124
7 Séries entières 127
7.1 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Dérivation terme à terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7.3 Un exemple de calcul de coefficients par la méthode de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.4 Un théorème d’Abel radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.5 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8 Séries de Fourier 147
8.1 Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
8.2 Théorème de Fejér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Théorème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.4 Autres résultats de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 Identité de Bessel-Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
8.6 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
9 Transformée de Fourier 177
9.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.2 Formule d’inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
9.3 Exercices corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
A Développements limités 195
A.1 Généralités sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 195
A.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . 201
Index 207
