Avant-propos 1
Partie A : notes de cours 7
1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Application linéaire symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . 16
1.3 Opérateur linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Division vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 Champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 Champ central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.4 Champ antisymétrique (ou champ de moments) . . . . . . . . . . 28
3.5 Champ équiprojectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.6 Théorème de Delassus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4 Torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Éléments de réduction - Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Opérations sur les torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Produit ou comoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.4 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6 Invariants d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.1 Invariant scalaire ou automoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.2 Invariant vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7 Axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.2 Pas d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.3 Moment central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.4 Équation vectorielle de l’axe central . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.5 Interprétation géométrique – Représentation graphique de l’axe central . .. . . . . . . . . . . . . . 41
7.6 Détermination analytique de l’axe central . . . . . . . . . . . . . 42
7.7 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Torseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.1 Torseur glisseur ou torseur à résultante . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2 Torseur couple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8.3 Torseur nul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.4 Applications pédagogiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
9 Décomposition d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.1 Décomposition canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9.2 Décomposition centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
10 Interprétation géométrique - Origine du mot torseur . . . . . . . . . . . 52
11 Classification des torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
12 Torseur associé à un ensemble de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
13 Torseur associé à une densité de vecteurs ⃗ f(M) . . . . . . . . . . . . . 55
14 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Partie B : problèmes corrigés 61
Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Problème 1 : équation vectorielle et axe central d’un torseur . . . . . . . 63
Problème 2 : moment et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . . 64
Problème 3 : comoment de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Problème 4 : somme de trois glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Problème 5 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problème 6 : somme de trois vecteurs glissants . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problème 7 : somme de cinq glisseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Problème 8 : torseur défini par un champ de moments . . . . . . . . . . . 74
Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Problème 1 : détermination de la résultante d’un torseur . . . . . . . . . 78
Problème 2 : champ de moments dépendant d’un paramètre . . . . . . . 80
Problème 3 : somme de deux torseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Problème 4 : résultante et axe central d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 83
Problème 5 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 84
Problème 6 : somme de trois glisseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 86
Problème 7 : somme de trois glisseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Problème 8 : combinaison linéaire de deux torseurs . . . . . . . . . . . . 90
Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Problème 1 : champ équiprojectif et axe central d’un torseur . . . . . . . 95
Problème 2 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-I . . . . . . . 98
Problème 3 : torseur somme de trois vecteurs glissants acte-II . . . . . . 101
Problème 4 : décomposition centrale d’un torseur . . . . . . . . . . . . . 103
Problème 5 : somme de deux torseurs acte-I . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problème 6 : somme de deux torseurs acte-II . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Problème 7 : produit et somme d’un glisseur et d’un couple . . . . . . . . 110
Problème 8 : somme et produit de deux glisseurs . . . . . . . . . . . . . . 114
Annexes 117
Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Annexe 3 : diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Bibliographie 131
Index alphabétique 139
