Préface de la première édition xi
Avant-propos xiii
Remerciements xv
1 Généralités sur le comportement rhéologique des matériaux 1
1.1 Solide élastique hookéen et fluide visqueux newtonien . . . . . 5
1.1.1 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2 Loi de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Solide plastique et fluide visqueux non newtonien . . . . . . . . 7
1.2.1 Réponse à l’action soudaine d’un cisaillement (régime transitoire) . . . . . . .. . . . 9
1.2.2 Comportement sous cisaillement continu (régime permanent) . . . .. . . . 11
1.3 Thixotropie et antithixotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Les fluides à seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Les fluides à seuil de type 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Les fluides à seuil de type 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4.4 Cas des solides cristallins à haute température . . . . . 22
1.5 Fluides viscoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.1 Le modèle de Maxwell : description qualitative . . . . . 25
1.5.2 Exemples de fluides viscoélastiques de Maxwell . . . . . 28
1.5.3 Le modèle de Jeffrey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5.4 Énergie dissipée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.5 Énergie élastique emmagasinée . . . . . . . . . . . . . . 35
1.5.6 Contraintes élastiques, forces normales et effet Weissenberg . . . 37
1.5.7 Quelques manifestations macroscopiques des contraintes élastiques . . .. 39
1.6 Les solides viscoélastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.7 Les cristaux liquides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Rappels de mécanique des milieux continus 55
2.1 Tenseur des contraintes et des couples surfaciques . . . . . . . . 56
2.1.1 Forces et couples de surface . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.2 Construction du tenseur des contraintes . . . . . . . . . 58
2.1.3 Construction du tenseur des couples surfaciques . . . . 59
2.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.1 Loi de conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.2 Loi de conservation de la quantité de mouvement . . . 61
2.3 Équation d’équilibre des couples et symétrie du tenseur des contraintes . .. . . . . . . . . 62
2.4 Production irréversible d’entropie et lois de comportement . . . 64
3 Hydrodynamique des liquides newtoniens 67
3.1 Loi de comportement rhéologique et loi de Fourier . . . . . . . 69
3.1.1 Bilans d’énergie et d’entropie . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Tenseur des coefficients de viscosité dans le cas d’un liquide isotrope . .. . 71
3.1.3 Interprétation macroscopique de la viscosité de cisaillement . . .. 72
3.1.4 Calcul microscopique de la viscosité de cisaillement . . 74
3.2 Équations de l’hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.2.1 Équation de conservation de la masse . . . . . . . . . . 81
3.2.2 Équation de conservation de la quantité de mouvement (Navier-Stokes) .. . . . . 81
3.2.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.2.4 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.2.5 Vitesse du son et nombre de Mach . . . . . . . . . . . . 89
3.2.6 Théorème de la dissipation : force et couple de frottement visqueux sur un solide en mouvement . . . 92
3.2.7 Équation de la vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3 Nombre de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.3.1 Définition : notion d’écoulements semblables . . . . . . 96
3.3.2 Signification physique du nombre de Reynolds . . . . . 97
3.3.3 Stabilité des écoulements et nombre de Reynolds critique . . . .. . 98
3.4 Couche limite et sillage : l’exemple de la ligne source de vorticité . .. . . . . . . . 101
3.5 Écoulements à grands nombres de Reynolds : l’approximation du fluide parfait . ... . . . 103
3.5.1 Théorème de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.5.2 Théorème de la circulation de Kelvin . . . . . . . . . . 105
3.5.3 Écoulements irrotationnels (ou potentiels) . . . . . . . 105
3.6 La théorie de la couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6.1 Les équations de Prandtl . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.6.2 Étude qualitative du décollement . . . . . . . . . . . . 121
3.6.3 Profil de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.4 Équation de Falker-Skan . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.6.5 Équation intégrale de la couche limite . . . . . . . . . . 127
3.6.6 Couche limite thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.7 Écoulements aux faibles nombres de Reynolds . . . . . . . . . . 131
3.7.1 Unicité et additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.7.2 Réversibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.7.3 Dissipation minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.7.4 Théorème de réciprocité . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.7.5 Théorie de la lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.7.6 Étalement d’un liquide sur un plateau en rotation (« spin-coating ») . . 137
3.7.7 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
3.7.8 Migration thermocapillaire d’une goutte . . . . . . . . 143
3.7.9 Propagation des micro-organismes . . . . . . . . . . . . 147
3.7.10 Écoulement de Poiseuille et milieu poreux . . . . . . . 151
3.7.11 Instabilité de Saffman-Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.8 Mesure de la viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.8.1 Rhéomètres rotatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
3.8.2 Rhéomètre capillaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
3.8.3 Rhéomètre piézoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.8.4 Machine de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.8.5 Sur le glissement aux parois . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.8.6 Mesure des viscosités en conditions extrêmes . . . . . . 179
3.8.7 Mesure de la viscosité de volume . . . . . . . . . . . . . 180
3.8.8 Mesure des viscosités en géophysique . . . . . . . . . . 181
3.8.9 Conséquences des effets de température et de pression
sur les mesures de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4 Élasticité des solides 185
4.1 Élastostatique des solides durs usuels . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.1 Tenseur des déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.1.2 Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4.1.3 Thermodynamique de la déformation . . . . . . . . . . 200
4.1.4 Loi de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4.1.5 L’équation de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.1.6 Comment résoudre un problème d’élasticité . . . . . . . 208
4.1.7 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1.8 Théorèmes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.1.9 Application à quelques problèmes simples . . . . . . . . 211
4.1.10 Instabilité de flambage d’une poutre . . . . . . . . . . . 224
4.1.11 Instabilité de flottement d’une aile d’avion . . . . . . . 229
4.2 Élastodynamique des solides durs usuels . . . . . . . . . . . . . 234
4.2.1 Ondes en milieu infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.2.2 Ondes en milieu fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.2.3 Ondes de surface de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2.4 Ondes émises par un tremblement de terre et sismologie . . . . . . .. . 240
4.2.5 Mesure des constantes élastiques et application en géophysique . . . . .. . . 243
4.3 Élasticité des cristaux colloïdaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.3.1 Généralités sur les cristaux colloïdaux . . . . . . . . . . 245
4.3.2 Mesures des modules élastiques . . . . . . . . . . . . . 251
5 Défauts dans les solides cristallins 259
5.1 Défauts ponctuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.1.1 Exemples : lacunes, interstitiels et impuretés . . . . . . 261
5.1.2 Concentration d’équilibre de lacunes . . . . . . . . . . . 262
5.1.3 Lacunes et diffusion de matière . . . . . . . . . . . . . . 264
5.2 Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
5.2.1 Construction de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
5.2.2 Définition précise du vecteur de Burgers et règle des noeuds . . 269
5.2.3 Mise en évidence expérimentale des dislocations . . . . 271
5.2.4 Propriétés élastiques des dislocations . . . . . . . . . . 275
5.2.5 Force de Peach et Koehler sur une dislocation . . . . . 288
5.2.6 Interactions entre dislocations . . . . . . . . . . . . . . 290
5.2.7 Multiplication des dislocations . . . . . . . . . . . . . . 296
5.2.8 Glissement des dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . 301
5.2.9 Glissement dévié et montée des dislocations . . . . . . . 314
5.3 Parois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
5.3.1 Description topologique et propriétés statiques . . . . . 316
5.3.2 Mouvement d’une paroi sous contrainte . . . . . . . . . 327
5.3.3 Complexions et thermodynamique des joints de grains . 330
6 Limite d’élasticité des solides cristallins 333
6.1 Contrainte interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.2 Friction de réseau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.3 Croisement entre dislocations : durcissement par la forêt . . . . 341
6.3.1 Analyse topologique du croisement entre deux dislocations . . . . 342
6.3.2 Conséquences directes de la formation des crans . . . . 343
6.3.3 Cas des jonctions attractives . . . . . . . . . . . . . . . 345
6.3.4 Cas des jonctions répulsives . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.4 Durcissement par les joints de grains : loi de Hall et Petch . . . 347
6.5 Durcissement par alliage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
6.5.1 Durcissement en présence de précipités cohérents : modèles de Mott et Nabarro et de Friedel . . . . . . . . 353
6.5.2 Durcissement en présence de précipités incohérents : modèle d’Orowan .. . . . . . . . 357
6.5.3 Durcissement des solutions solides : modèles de Mott et Nabarro, de Friedel et de Labusch . . . . . . . . . . . . 360
6.5.4 Nuages de Cottrell et bandes de Lüders . . . . . . . . . 367
6.6 Durcissement par trempe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.7 Durcissement par irradiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7 Écoulement plastique des solides cristallins 377
7.1 Courbes de fluage à contrainte fixée : lois d’Andrade . . . . . . 379
7.2 Relation d’Orowan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
7.3 Quelques modèles classiques de plasticité . . . . . . . . . . . . . 382
7.3.1 Fluage à basse température par glissement de dislocations . . . . . 382
7.3.2 Fluage à haute température . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.3.3 Cartes des mécanismes de déformation d’Ashby . . . . 398
7.4 Courbes de déformation à vitesse de déformation fixée . . . . . 399
7.4.1 Allure générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
7.4.2 Modélisation de « l’overshoot » . . . . . . . . . . . . . . 400
7.4.3 Instabilité de Portevin-Le Chatelier . . . . . . . . . . . 403
7.5 Acoustique et avalanches de dislocations . . . . . . . . . . . . . 406
7.6 Plasticité des cristaux colloïdaux et fusion sous cisaillement . . 411
8 Plasticité des solides amorphes 417
8.1 Exemples de verres et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 418
8.2 Volume libre et relaxation structurale . . . . . . . . . . . . . . 420
8.3 Densification sous pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . 420
8.4 Preuves expérimentales de la plasticité des verres . . . . . . . . 421
8.5 Le régime d’écoulement plastique homogène . . . . . . . . . . . 424
8.6 Le régime élastique et la limite d’élasticité apparente . . . . . . 428
8.7 Le régime de déformation inhomogène . . . . . . . . . . . . . . 430
8.7.1 La courbe de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
8.7.2 Analyse des différents régimes . . . . . . . . . . . . . . 431
8.7.3 Sur l’origine des bandes de cisaillement . . . . . . . . . 434
8.7.4 Les bandes sont-elles chaudes ou froides ? . . . . . . . . 435
9 Rupture des solides 441
9.1 Rappels sur les modes de rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
9.2 Rupture fragile et rupture ductile : définition . . . . . . . . . . 443
9.3 Analyse de Hart de l’instabilité de striction . . . . . . . . . . . 445
9.4 La température de transition fragile-ductile . . . . . . . . . . . 446
9.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
9.4.2 Détermination expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . 447
9.4.3 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
9.5 Théorie de la rupture fragile « idéale » . . . . . . . . . . . . . . 450
9.5.1 Contrainte de clivage théorique . . . . . . . . . . . . . 450
9.5.2 Rupture par propagation de fissure : critère de Griffith 452
9.5.3 Vitesse de propagation d’une fissure . . . . . . . . . . 457
9.6 Vérification expérimentale de la théorie de Griffith . . . . . . . 462
9.6.1 Le cas d’école du verre de vitre . . . . . . . . . . . . . . 462
9.6.2 Cas du zinc polycristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
9.6.3 Cas de l’acier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
9.7 Rupture fragile en présence de plasticité . . . . . . . . . . . . . 466
9.7.1 Zone plastique et champ de contrainte . . . . . . . . . . 466
9.7.2 Généralisation du critère de Griffith . . . . . . . . . . . 468
9.7.3 Intégrale J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
9.7.4 Diagramme d’Ashby pour la ténacité et la limite d’élasticité . .. . . 471
9.8 Fracture ductile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
9.9 Approche statistique de la rupture : effets de taille . . . . . . . 475
A Théorème de « dérivation sous le signe somme » 479
B Discontinuités tangentielles et ondes de choc (fluides parfaits) 481
B.1 Conditions aux limites sur une surface de discontinuité . . . . . 481
B.1.1 Conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
B.1.2 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
B.1.3 Conservation de la quantité de mouvement . . . . . . . 482
B.2 Discontinuités tangentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
B.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
B.2.2 Instabilité de Kelvin-Helmholtz (ou des discontinuités tangentielles) . .. . . . 483
B.3 Ondes de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
B.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
B.3.2 Adiabatique de choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
B.3.3 Adiabatiques de choc dans un gaz parfait à chaleurs spécifiques constantes . .. 486
B.3.4 Ondes de choc en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . 489
C Équations de l’hydrodynamique pour un fluide incompressible 491
C.1 Coordonnées cylindriques (r, ✓, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
C.2 Coordonnées sphériques (r, ✓, ') . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
D Équations de l’élasticité en coordonnées cylindriques et sphériques 495
D.1 Coordonnées cylindriques (r, ✓, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
D.2 Coordonnées sphériques (r, ✓, ') . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
E Démonstration de la formule de Peach et Koehler 499
F Rappel de cristallographie : indice de Miller 503
F.1 Cristaux cubiques (c.c. et c.f.c.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
F.2 Cristaux hexagonaux (h.c.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
F.3 Autres structures cristallines simples . . . . . . . . . . . . . . . 508
G Interaction entre une dislocation et un atome d’impureté 509
G.1 Effet de taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
G.2 Effet de module élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
G.3 Comparaison entre les différents effets . . . . . . . . . . . . . . 514
H Loi de Schmid et facteur de Taylor 515
H.1 Loi de Schmid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
H.2 Facteur de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
Bibliographie 519
Notations 551
Index 557
