Table des matières
1 Intégrales de contour ou curvilignes dans le plan . . . . . . . . . . 1
1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Champs de vecteurs du plan et intégrales de contour . . . . . . . 4
1.3 Propriétés des champs de gradient . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Courbure du champ de vecteurs. Identité de Green–Riemann . . . 7
1.5 Condition de courbure nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Champs de vecteurs différentiables et condition de courbure nulle . . 12
1.7 Particule dans un champ magnétique et identité de Green–Riemann 15
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Intégrales complexes. Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . 21
2.1 Intégrale de contour complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Fonctions entières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4 Représentation de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Théorème de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.6 Formule de la moyenne. Théorème du module maximum . . . . . 32
2.7 Fonctions entières bornées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.8 Illustration en physique : fluides bidimensionnels . . . . . . . . . 35
3 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Représentation de Cauchy et série de Taylor . . . . . . . . . . . 38
3.3 Séries de Taylor et analyticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Quelques conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Singularités isolées. Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Formule des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Inversion et sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.4 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.5 Singularités essentielles isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 Singularités algébriques. Transformations conformes . . . . . . . . 55
5.1 Logarithme complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.2 La fonction zα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Formule de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.4 Transformations conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5 Conditions de Cauchy et électrostatique bidimensionnelle . . . . . 61
6 Sujets divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.1 La fonction Γ(z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 Distributions gaussiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
7 Séries asymptotiques. Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . 77
7.1 Fonctions analytiques bornées dans un secteur . . . . . . . . . . 77
7.2 Séries asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
7.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7.4 Comportement aux grands ordres . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.5 Transformation de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8 Approximants de Padé : définition et propriétés . . . . . . . . . . 89
8.1 Propriétés de transformation : cas général . . . . . . . . . . . . 90
8.2 Approximants de Padé diagonaux . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.3 Autres relations entre approximants . . . . . . . . . . . . . . 92
8.4 Convergence en mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9 Fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.1 Définition et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.2 Fonctions : développement en fractions continues . . . . . . . . . 98
9.3 Equations de Riccati et fractions continues . . . . . . . . . . . 99
9.4 Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10 Approximants de Padé et fractions continues . . . . . . . . . . 107
10.1 Approximants de Padé et fractions continues . . . . . . . . . 107
10.2 Numérateurs et dénominateurs des approximants de Padé . . . 108
10.3 Approximants de Padé diagonaux . . . . . . . . . . . . . . 110
10.4 Fonctions et inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
10.5 Approximants de Padé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
10.6 Identité de Wynn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.7 Approximants de Padé multi-points . . . . . . . . . . . . . 117
10.8 Séries à coefficients matriciels . . . . . . . . . . . . . . . . 119
11 Propriétés de Herglotz et fonctions de Stieljes . . . . . . . . . 121
11.1 Propriété de Herglotz : définition et conséquences . . . . . . . 121
11.2 Une deuxième propriété de Herglotz . . . . . . . . . . . . . 123
11.3 Fonctions de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.4 Polynômes orthogonaux et quadrature gaussienne . . . . . . . 129
11.5 Approximants de Padé multi-points . . . . . . . . . . . . . 132
11.6 Matrices de Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
12 Méthodes d’accélération de convergence . . . . . . . . . . . . 139
12.1 Intégration et formule d’Euler–MacLaurin . . . . . . . . . . 139
12.2 Extrapolation de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
12.3 Approximants à trois points et racines complexes d’équations . . 150
13 Spectre d’opérateurs différentiels. Exemples . . . . . . . . . . 153
13.1 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
13.2 Equations de champ : solutions de type instanton . . . . . . . 155
14 Séries divergentes et sommation . . . . . . . . . . . . . . . . 157
14.1 Séries asymptotiques dans un secteur . . . . . . . . . . . . 157
14.2 Sommation de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
14.3 Application au calcul des exposants critiques . . . . . . . . . 161
14.4 Méthode ODM de sommation de séries . . . . . . . . . . . . 163
Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1 Quelques autres résultats mathématiques . . . . . . . . . . . 167
A1.1 Lemme de Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1.2 Théorème de Carlson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1.3 Principe de Phragmén–Lindelöf pour un secteur angulaire . . . 168
A2 Fractions continues et approximations de Padé . . . . . . . . . 169
A2.1 Fractions continues et approximations de Padé . . . . . . . . 169
A2.2 Les polynômes Θp(s) : relations de récurrence . . . . . . . . 170
A2.3 Troncation et sommation : démonstration alternative . . . . . 172
A2.4 Identité de Wynn : vérification . . . . . . . . . . . . . . . 174
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
