Préface i
Avant-propos v
Liste des encadrés 2
Liste des sigles et acronymes 3
1 Information classique 7
1.1 L’entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Entropie et théorème de codage de Shannon . . . . . . . 12
1.1.3 Propriétés de l’entropie de Shannon . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Capacité de transmission d’un canal bruité . . . . . . . 19
1.2 La cryptographie classique : clé secrète et clé publique . . . . . 21
1.2.1 Bref historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Chiffrement à clé secrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Chiffrement à clé publique . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Mathématiques du chiffrement RSA . . . . . . . . . . . 25
1.3 Complexité algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.1 Machines de Turing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Classes de complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Le bit quantique ou qubit 43
2.1 États d’un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2 Tomographie, clonage, discrimination . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Projecteurs et valeurs moyennes . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.2 Estimation (ou tomographie) d’un qubit . . . . . . . . . 52
2.2.3 Théorème de non-clonage . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.2.4 Discrimination sans erreur entre états non orthogonaux 58
2.2.5 Discrimination avec erreur entre états non orthogonaux 59
2.3 Dynamique d’un qubit : oscillations de Rabi . . . . . . . . . . . 62
2.4 Physique quantique et information . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.1 Formalisme général de la physique quantique . . . . . . 69
2.4.2 Information et superposition . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3 Champ électromagnétique quantifié et photons 83
3.1 Oscillateur harmonique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.1 États propres du hamiltonien ou « états nombre » . . . 84
3.1.2 États cohérents de l’oscillateur harmonique . . . . . . . 89
3.2 Concept de photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.3 États cohérents du champ électromagnétique . . . . . . . . . . 97
3.4 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.4.1 Lame séparatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.4.2 Détection homodyne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5 Interaction photon-atome : le hamiltonien de Jaynes-Cummings 107
3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4 Systèmes quantiques intriqués 113
4.1 Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.2 Opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2.2 Décomposition de Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.2.3 Purification d’un opérateur densité . . . . . . . . . . . . 125
4.2.4 Évolution temporelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.3 Opérateur densité pour un qubit . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.4 Réalisations expérimentales d’états intriqués . . . . . . . . . . . 130
4.4.1 Intrication photon-atome . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.4.2 Transfert d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.5 États conditionnels (ou relatifs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.6 Inégalités de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5 Information et intrication 151
5.1 Clonage quantique approché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2 Intrication et perte de cohérence . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.3 Définition générale de la décohérence . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.4 Évolution unitaire et représentation de Kraus . . . . . . . . . . 161
5.5 Mesures généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.6 Compression des données quantiques . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6.1 Entropies de Shannon et de von Neumann . . . . . . . . 170
5.6.2 Compression pour trois qubits . . . . . . . . . . . . . . 173
5.6.3 Compression : cas général de n qubits . . . . . . . . . . 176
5.7 Capacité d’un canal quantique : la borne de Holevo . . . . . . . 178
5.7.1 Propriétés de l’entropie de von Neumann . . . . . . . . 178
5.7.2 Entropie de von Neumann et évolution temporelle . . . 184
5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6 Communications quantiques 201
6.1 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.1.1 Photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.1.2 Paires de photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.1.3 Paires de photons intriqués . . . . . . . . . . . . . . . . 218
6.1.4 États graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.1.5 États gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.2 Détecteurs de photons uniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
6.2.1 Principe général et caractéristiques d’un détecteur de photons uniques . . . . . . . 235
6.2.2 Photodiodes à avalanche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.2.3 Nanofils supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6.3 Détections homodyne et hétérodyne . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.4 Fonctions de base d’un réseau de communications quantiques . 241
6.4.1 Mesure dans la base de Bell . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6.4.2 Téléportation quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.4.3 Transfert d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
6.4.4 Purification d’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
6.4.5 Mémoires quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
6.5 Répéteur quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6.5.1 Répéteurs utilisant l’interaction lumière matière . . . . 263
6.5.2 Répéteurs entièrement photoniques . . . . . . . . . . . . 271
6.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7 Cryptographie quantique 283
7.1 Intuition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.2 Premiers protocoles de distribution quantique de clé . . . . . . 285
7.2.1 Protocole BB84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.2.2 Paramètres caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.2.3 Protocole d’Ekert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
7.2.4 Protocoles à variables continues . . . . . . . . . . . . . . 296
7.2.5 Sécurité d’un protocole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.2.6 Exemples d’attaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
7.3 Protocoles basés sur l’intrication . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
7.3.1 Protocole indépendant de tous les dispositifs . . . . . . 303
7.3.2 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 306
7.3.3 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 310
7.4 Réalisations expérimentales de distribution quantique de clé . . 315
7.4.1 Protocole BB84 avec des états leurres et en liaison fibrée 315
7.4.2 Variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
7.4.3 Protocole indépendant des appareils de mesure . . . . . 319
7.4.4 Protocole des champs jumeaux . . . . . . . . . . . . . . 321
7.4.5 Communications quantiques spatiales . . . . . . . . . . 325
7.5 Au delà de la distribution de clé . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
8 Calcul quantique : le logiciel 335
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.2 Calcul réversible classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.3 Portes logiques quantiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
8.4 Algorithme de Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
8.5 Algorithme de recherche de Grover . . . . . . . . . . . . . . . . 348
8.6 Algorithme de factorisation de Shor . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.6.1 Transformation de Fourier quantique . . . . . . . . . . . 354
8.6.2 Recherche de la période d’une fonction . . . . . . . . . . 358
8.6.3 Décomposition en facteurs premiers et chiffrement RSA 362
8.7 Complexité algorithmique et accélération quantique . . . . . . . 363
8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
9 Codes correcteurs d’erreurs quantiques 375
9.1 Code de répétition à trois qubits . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
9.2 Codes correcteurs d’erreurs classiques . . . . . . . . . . . . . . 387
9.2.1 Tests de parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
9.2.2 Codes de Hamming rn; ks . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
9.2.3 Codes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.2.4 Codes duaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
9.3 Codes Caldebank-Shor-Steane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
9.4 Codes à stabilisateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
9.4.1 Définition des erreurs et propriétés . . . . . . . . . . . . 404
9.4.2 Stabilisateurs et leurs générateurs . . . . . . . . . . . . 407
9.5 Logique quantique tolérante aux erreurs . . . . . . . . . . . . . 412
9.5.1 Théorème du seuil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
9.5.2 Calcul avec des qubits logiques . . . . . . . . . . . . . . 416
9.6 Codes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
9.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
10 Calcul quantique : le matériel 433
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
10.2 Ions piégés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
10.3 Qubits supraconducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
10.3.1 Supraconductivité et jonctions Josephson . . . . . . . . 446
10.3.2 Quantification de circuits oscillants . . . . . . . . . . . . 453
10.3.3 Circuits de type SQUID . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
10.3.4 Qubits de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
10.3.5 Qubits de flux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
10.4 Calcul photonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
10.4.1 Optique linéaire et mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
10.4.2 Échantillonnage bosonique . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
10.4.3 Réalisations diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
10.4.4 Système basé sur une interaction lumière matière . . . . 499
10.5 Atomes neutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
11 Conclusion générale 517
12 Corrigés d’une sélection d’exercices 521
12.1 Exercices du chapitre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
12.2 Exercices du chapitre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
12.3 Exercices du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
12.4 Exercices du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532
12.5 Exercices du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
12.6 Exercices du chapitre 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
12.7 Exercices du chapitre 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
12.8 Exercices du chapitre 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
12.9 Exercices du chapitre 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
12.10 Exercices du chapitre 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565
Bibliographie 573
Glossaire 583
Index 591
