Introduction du tome 2 ix
0.6 But de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
0.7 Contenu de l’ouvrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
0.8 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
0.9 Bibliographie sommaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
0.10 Plan structuré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xv
III Mécanique statistique : phénomènes critiques et groupe de renormalisation 339
10 Rappels : introduction aux phénomènes critiques, le modèle d’Ising 341
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
10.2 Brève introduction aux phénomènes critiques : exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . . . . . . . . 342
10.2.1 Transition ferro-paramagnétique et point critique . . . 342
10.2.2 Paramètre d’ordre et brisure de symétrie . . . . . . . . 343
10.2.3 Singularités au point critique et exposants critiques . . 344
10.2.4 Corrélations et fluctuations au point critique, longueur de corrélation et exposants associés . . . . . . . . . . . 345
10.2.5 Universalité et lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 348
10.3 Rappels de mécanique statistique et modèle d’Ising . . . . . . . 351
10.3.1 Le modèle d’Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.3.2 Ensemble canonique, fonction de partition . . . . . . . 352
10.3.3 Observables et fonctions de corrélation . . . . . . . . . 353
10.3.4 Limite thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.4 Potentiel thermodynamique et transformation de Legendre . . 354
10.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.4.2 Propriétés du potentiel thermodynamique . . . . . . . . 355
10.4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.1 Modèle d’Ising en D = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
10.5.2 Modèle d’Ising en D = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
10.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
11 L’approximation du champ moyen et la théorie de Laudau des phénomènes critiques 363
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
11.2 Le modèle d’Ising dans l’approximation du champ moyen . . . 364
11.2.1 Le champ moyen : version Curie-Weiss . . . . . . . . . 364
11.2.2 Le champ moyen comme approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
11.2.3 Application : champ moyen pour le modèle d’Ising . . . 369
11.2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11.3 Diagramme de phase et exposants critiques . . . . . . . . . . . 373
11.3.1 Diagramme de phase et point critique . . . . . . . . . . 373
11.3.2 Exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
11.3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
11.4 La fonction de corrélation à deux points . . . . . . . . . . . . . 375
11.4.1 La dérivée seconde du potentiel thermodynamique . . . 375
11.4.2 La fonction à deux points dans l’espace réel et dans l’espace réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
11.4.3 Comportement à grande distance de la fonction de corrélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
11.4.4 Exposants ν et η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
11.4.5 Comportement au point critique, limite continue . . . . 378
11.4.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
11.5 La théorie de Landau des phénomènes critiques . . . . . . . . . 380
11.5.1 Principe de l’approximation de Landau . . . . . . . . . 380
11.5.2 Théorie de Landau pour le modèle d’Ising . . . . . . . 382
11.5.3 Théorie de Landau pour d’autres systèmes critiques . . 388
11.5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.6 Fluctuations dans la phase de basse température : dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.6.1 Dimension critique inférieure . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.6.2 Symétrie discrète : Dlc = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.6.3 Symétrie continue et modes de Goldstone . . . . . . . . 395
11.6.4 Dlc = 2 et argument de Mermin-Wagner-Coleman . . . 398
11.6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
11.7 Fluctuations au point critique, critère de Ginzburg, domaine critique et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . 402
11.7.1 Amplitude des fluctuations au voisinage du point critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.7.2 Critère de Ginzburg et dimension critique supérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
11.7.3 Analyse dimensionnelle pour la température effective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
11.7.4 Analyse dimensionnelle pour le couplage non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.7.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
11.7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
11.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
12 La théorie de Wilson du groupe de renormalisation 411
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
12.2 Principe des transformations du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
12.2.1 Introduction, système microscopique . . . . . . . . . . . 412
12.2.2 Décimation et transformations d’échelle . . . . . . . . . 413
12.2.3 Hamiltonien renormalisé et conséquences pour les observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
12.2.4 Itération et (semi-)groupe de renormalisation . . . . . . 418
12.2.5 Des applications itérées aux flots du groupe de renormalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
12.2.6 Équations de flot et dimension d’échelle de φ . . . . . . 422
12.2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.3 Renormalisation à la « Migdal-Kadanoff » . . . . . . . . . . . . 426
12.3.1 Modèle d’Ising sur réseau triangulaire, principe . . . . . 426
12.3.2 Approximation variationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 427
12.3.3 Couplages renormalisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.3.4 Points fixes et flot du GR . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.4 Points fixes et variétés critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
12.4.1 Principe général : géométrie des flots et phases du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.4.2 Linéarisation au voisinage d’un point fixe : champs et dimensions d’échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.5 Exposants critiques, lois d’échelle et universalité . . . . . . . . 436
12.5.1 Point fixe avec une direction instable . . . . . . . . . . 436
12.5.2 Invariance d’échelle au point fixe, exposant η . . . . . . 436
12.5.3 Approche du point fixe, longueur de corrélation et exposant ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
12.5.4 Universalité des lois d’échelle sur la surface critique . . 438
12.5.5 Universalité de l’approche au point critique, limite continue, fonctions d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 439
12.5.6 Fonctions d’échelle et limite continue . . . . . . . . . . 441
12.5.7 Au-delà de la linéarisation : universalité et domaine critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.6 Calcul des exposants critiques et des relations d’échelle pour les systèmes magnétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
12.6.1 Système en champ externe h, point bicritique . . . . . . 445
12.6.2 Calcul des exposants critiques . . . . . . . . . . . . . . 446
12.6.3 Le cas D > 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
12.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
13 Groupe de renormalisation de Wilson et théorie des champs 449
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
13.2 Modèle de Landau-Ginzburg-Wilson dans l’approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
13.2.1 Approximation du potentiel local . . . . . . . . . . . . 450
13.2.2 Renormalisation par intégration sur des tranches d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
13.2.3 Équation de flots pour le potentiel local . . . . . . . . . 455
13.2.4 Flots et points fixes à D = 4−ǫ . . . . . . . . . . . . . 455
13.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
13.3 D=4 et couplage marginalement inessentiel . . . . . . . . . . . 460
13.3.1 Couplage marginalement inessentiel : corrections logarithmiques aux lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . 461
13.3.2 Couplage marginalement essentiel, divergence exponentielle de ξ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
13.3.3 Ligne de points fixes : exemple du modèle XY . . . . . 462
13.3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
13.4 Limite continue et relation avec les théories quantiques des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
13.4.1 Limite continue et fonctions d’échelle . . . . . . . . . . 465
13.4.2 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
13.4.3 Relation entre modèle de Landau-Ginzburg-Wilson . . et théorie des champs φ4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
13.4.4 Équations du groupe renormalisation pour la théorie continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
13.4.5 Étude des phénomènes critiques par la théorie des champs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
13.5 Opérateurs dangereux et opérateurs redondants . . . . . . . . . 471
13.5.1 Relations d’échelle pour D >4 et opérateurs inessentiels dangereux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
13.5.2 Équivalence des procédures de renormalisation et opérateurs redondants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
13.5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
IV Applications et exemples 475
14 Applications de la théorie de Landau-Ginsburg-Wilson 477
14.1 Régularisation dimensionnelle, renormalisation et développement en ǫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
14.1.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
14.2 Modèles à N composantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
14.2.1 Modèle O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
14.2.2 Développement perturbatif . . . . . . . . . . . . . . . . 480
14.2.3 Fonctions β à une boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
14.2.4 Limite N→ ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
14.2.5 N =0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
14.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
14.3 Modèles à symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
14.3.1 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
14.4 Polymères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
14.4.1 Introduction aux polymères . . . . . . . . . . . . . . . . 487
14.4.2 Polymères, marches aléatoires et champ libre . . . . . . 488
14.4.3 Effets stériques et classe d’universalité . . . . . . . . . . 490
14.4.4 Modèle de gaz de boucles et limite n = 0 . . . . . . . . 492
14.4.5 Limite d’échelle et théorie φ4 n=0 . . . . . . . . . . . . . 495
14.4.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
14.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
14.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
14.5.2 Modèle d’Ising avec lacunes, point tricritique . . . . . . 497
14.5.3 Champ moyen et théorie φ63 . . . . . . . . . . . . . . . 499
14.5.4 Renormalisation et fonction bêta . . . . . . . . . . . . . 500
14.5.5 Points multicritiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
14.5.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
15 Modèles de spins et modèles sigma (classiques et quantiques)..507
15.1 Modèle sigma non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
15.1.1 Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
15.1.2 Théorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
15.1.3 Renormalisation à D =2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
15.1.4 Détails du calcul perturbatif à D =2 . . . . . . . . . . 512
15.1.5 Modèle sigma en dimension D >2 . . . . . . . . . . . . 515
15.1.6 Aspects non perturbatifs, instantons . . . . . . . . . . . 516
15.1.7 Autres modèles sigma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
15.1.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
15.2 Chaînes de spin quantiques et modèles sigma . . . . . . . . . . 523
15.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523
15.2.2 Chaîne quantique antiferromagnétique . . . . . . . . . . 523
15.2.3 Intégrale de chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
15.2.4 Théorie effective de basse énergie . . . . . . . . . . . . 525
15.2.5 Modèle O(3) et conjecture de Haldane . . . . . . . . . . 526
15.2.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.3 Modèle XY, gaz de Coulomb et modèle de sine-Gordon . . . . . 528
15.3.1 Définition, ondes de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
15.3.2 Vortex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
15.3.3 Analogie électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
15.3.4 Thermodynamique des vortex/gaz de Coulomb . . . . . 532
15.3.5 La transition de Kosterlitz-Thouless-Berezinski . . . . . 533
15.3.6 Le modèle de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . 534
15.3.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
15.3.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
16 Surfaces, interfaces et membranes 539
16.1 Interfaces et mouillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
16.1.1 Mouillage en 1+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 539
16.1.2 Modèle quantique, exposants critiques . . . . . . . . . . 545
16.1.3 Mouillage en 2+1 dimension . . . . . . . . . . . . . . . 549
16.1.4 Transition rugueuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
16.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
16.2 Membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
16.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552
16.2.2 Membranes fluides : introduction . . . . . . . . . . . . . 553
16.2.3 Un peu de géométrie des surfaces . . . . . . . . . . . . 554
16.2.4 Le modèle de Canham-Helfrich . . . . . . . . . . . . . . 560
16.2.5 Fluctuations thermiques et renormalisation du module de rigidité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
16.2.6 Longueur de persistance et phase froissée . . . . . . . . 568
16.2.7 Répulsion stérique, adhésion et décrochage des membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568
16.2.8 Membranes polymérisées et transition de froissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
17 Systèmes de taille finie et lois d’échelle (Finite Size Scaling) 579
17.1 Systèmes de taille finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
17.1.1 Lois d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
17.2 Groupe de renormalisation dans les systèmes de taille finie . . . 584
17.3 Transitions du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
17.4 Points critiques quantiques à température finie . . . . . . . . . 591
17.5 Zéros complexes de la fonction de partition . . . . . . . . . . . 593
17.5.1 Modèle d’Ising avec paramètres complexes . . . . . . . 593
17.5.2 Zéros en champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . 593
17.5.3 Zéros en température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
18 Invariance d’échelle et invariance conforme...597
18.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
18.2 Invariance d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
18.2.1 Champ libre de masse nulle . . . . . . . . . . . . . . . . 598
18.2.2 φ4 en dimension d = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598
18.2.3 Courant de dilatation Jμ dil et tenseur énergie-impulsion T μν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
18.2.4 Anomalie d’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
18.2.5 Théorème de Noether et tenseur énergie-impulsion . . . 602
18.2.6 Le tenseur énergie-impulsion comme réponse à une variation de la métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
18.3 Invariance conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607
18.3.1 Le champ libre en dimension d = 2 . . . . . . . . . . . 607
18.3.2 Le groupe conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608
18.3.3 Pourquoi l’invariance conforme ? . . . . . . . . . . . . . 611
18.4 Invariance conforme en deux dimensions (brève présentation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611
18.4.1 Transformations conformes locales . . . . . . . . . . . . 611
18.4.2 Théorie quantique et invariance conforme . . . . . . . . 614
18.4.3 La charge centrale et l’algèbre de Virasoro . . . . . . . 617
18.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
Index 623
Bibliographie 627
