Sommaire
Table des matières
Préface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii
I Transformations de symétrie 1
A Symétries fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
B Symétries en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 6
C Symétries en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 27
AI Points de vue d’Euler et de Lagrange en mécanique classique 33
1 Point de vue d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2 Point de vue de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
BI Théorème de Noether pour un champ classique 41
1 Densité de lagrangien et équations de Lagrange en variables continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Transformations de symétrie et conservation d’un courant . . 43
3 Généralisation, notation relativiste . . . . . . . . . . . . . . . 45
4 Conservation locale de l’énergie-impulsion . . . . . . . . . . . 45
II Notions sur la théorie des groupes 47
A Propriétés générales des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . 48
B Représentations linéaires d’un groupe . . . . . . . . . . . . . 58
AII Classes résiduelles d’un sous-groupe ; groupe quotient 67
1 Classes résiduelles à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2 Groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
III Introduction aux groupes continus et groupes de Lie 71
A Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
C Groupes de Galilée et de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . 101
AIII Représentation adjointe, forme de Killing, opérateur de Casimir 111
1 Représentation adjointe à l’algèbre de Lie . . . . . . . . . . . 111
2 Forme de Killing ; produit scalaire et changement de base dans L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3 Constantes de structure totalement antisymétriques . . . . . 115
4 Opérateur de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
IV Représentations induites dans l’espace des états 119
A Conditions imposées aux transformations dans l’espace des états121
B Théorème de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
C Transformations des observables . . . . . . . . . . . . . . . . 128
D Représentations linéaires dans l’espace des états . . . . . . . . 130
E Facteurs de phase et représentations projectives . . . . . . . . 135
AIV Représentations projectives unitaires de dimension finie des groupes de Lie connexes 143
1 Cas où G est simplement connexe . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2 Cas où G est p-connexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
BIV Théorème de Uhlhorn-Wigner 151
1 Espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2 Espace complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
V Représentations des groupes de Galilée et de Poincaré : masse, spin et énergie 159
A Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . 160
B Groupe de Galilée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
C Groupe de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
AV Groupe de Lorentz propre et groupe SL(2C) 195
1 Lien avec le groupe SL(2, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2 Petit groupe associé à un quadrivecteur . . . . . . . . . . . . 202
3 Opérateur W2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
BV Relations de commutation de S, quadrivecteur de Pauli-Lubanski 209
1 Opérateur S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
2 Pseudo-vecteur de Pauli-Lubanski . . . . . . . . . . . . . . . 211
3 Sous-espace propre d’énergie-impulsion de valeurs propres quelconques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
CV Groupe des déplacements géométriques 217
1 Rappels : propriétés classiques des déplacements . . . . . . . 218
2 Opérateurs associés dans l’espace des états . . . . . . . . . . 227
DV Réflexions d’espace (parité) 237
1 Action dans l’espace réel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
2 Opérateur associé dans l’espace des états . . . . . . . . . . . 239
3 Conservation de la parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
VI Construction d’espaces des états et d’équations d’onde 245
A Groupe de Galilée, équation de Schrödinger . . . . . . . . . . 246
B Groupe de Poincaré, équations de Klein-Gordon, Dirac, Weyl 259
AVI Invariance relativiste de l’équation de Dirac et limite non relativiste 277
1 Invariance relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
2 Limite non relativiste de l’équation de Dirac . . . . . . . . . . 280
BVI Transformations de Poincaré finies et espace des états de Dirac 285
1 Groupe des déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
2 Transformations de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
3 Espace des états et opérateurs de Dirac . . . . . . . . . . . . 291
CVI Lagrangiens et relations de conservation des équations d’onde 299
1 Champs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
2 Equation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3 Equation de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
4 Equation de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
VII Groupe des rotations, moments cinétiques, spineurs 311
A Propriétés générales des opérateurs de rotation . . . . . . . . 312
B Particules de spin 1/2 ; spineurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
C Composition des moments cinétiques . . . . . . . . . . . . . . 338
AVII Rotations d’un spin 1/2 et matrices de SU(2) 347
1 Modification de la polarisation d’un spin 1/2 induite par une matrice de SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
2 La transformation est une rotation . . . . . . . . . . . . . . . 349
3 Homomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4 Lien avec le raisonnement du chapitre VII . . . . . . . . . . . 352
5 Lien avec les représentations bivaluées . . . . . . . . . . . . . 354
BVII Composition de plus de deux moments cinétiques 355
1 Moment cinétique total nul ; coefficients 3j . . . . . . . . . . . 355
2 Coefficients 6j de Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
VIII Transformation des observables par rotation 363
A Opérateurs scalaires et vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . 366
B Opérateurs tensoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
C Théorème de Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
D Applications et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
AVIII Rappels élémentaires sur les tenseurs classiques 405
1 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
2 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
4 Critère de tensorialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
5 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . 411
6 Tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
7 Tenseurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
BVIII Opérateurs tensoriels du second ordre 417
1 Produit tensoriel de deux opérateurs vectoriels . . . . . . . . 417
2 Composantes cartésiennes du tenseur dans le cas général . . . 419
CVIII Les moments multipolaires 423
1 Moments multipolaires électriques . . . . . . . . . . . . . . . 424
2 Moments multipolaires magnétiques . . . . . . . . . . . . . . 437
3 Moments multipolaires d’un système quantique dans une multiplicité de moment cinétique J donné . . . . . . . . . . . . . 442
DVIII Décomposition de la matrice densité sur les opérateurs tensoriels irréductibles 447
1 Espace de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
2 Transformation par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
3 Base des opérateurs T [K] Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450
4 Invariance par rotation dans l’évolution d’un système physique 453
IX Symétries internes, groupes SU(2) et SU(3) 457
A Système de particules discernables mais équivalentes . . . . . 459
B Groupe SU(2) et symétrie d’isospin . . . . . . . . . . . . . . . 475
C Symétrie SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
AIX La nature d’une particule est équivalente à un nombre quantique interne 507
1 Symétrisation ou antisymétrisation partielle ou totale d’un vecteur d’état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
2 Correspondance entre les états de deux systèmes physiques . 509
3 Conséquences physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
BIX Opérateurs changeant la symétrie d’un vecteur d’état par permutation 513
1 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
2 Bosons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516
X Brisures de symétrie 517
A Magnétisme, brisure de la symétrie de rotation . . . . . . . . 518
B Quelques autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
APPENDICE 533
Renversement du temps 533
1 Renversement du temps en mécanique classique . . . . . . . . 534
2 Opérateurs antilinéaires et antiunitaires en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
3 Renversement du sens du temps et antilinéarité . . . . . . . . 547
4 Forme explicite de l’opérateur de renversement du temps . . . 555
5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
Bibliographie 569
