Table des mati`eres
1 Quelques r´eflexions sur le rˆole des sym´etries en physique . . . . . . 1
2 La notion de groupe. D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . 5
2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Groupes ab´eliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Groupe sym´etrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Transformations lin´eaires du r´eseau cubique g´en´eral . . . . . . . . 12
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Groupes ab´eliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17
3.1 Translations sur la droite r´eelle et dilatations . . . . . . . . . . 17
3.2 Groupe U(1). Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Groupes de matrice et alg`ebres : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Alg`ebres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2 Isomorphismes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 D´eterminants et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26
4.5 Transformations lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27
4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.7 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . 30
5 Groupes de Lie : rotations et r´eflexions du plan . . . . . . . . . . 31
5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.3 Repr´esentations : formes bilin´eaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35
5.4 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . 37
5.5 Repr´esentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40
5.6 Repr´esentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.7 M´ecanique quantique et repr´esentations de dimension infinie . . . . 42
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
6 Alg`ebres et groupes deLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2 Groupe et alg`ebre de Lie : repr´esentation adjointe . . . . . . . . 48
6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et alg`ebre de Lie . . . 50
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55
7.1 Groupe SO(3) et alg`ebre deLie . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2 Repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.3 Les repr´esentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60
7.4 M´ecanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62
7.5 Espace de fonctions et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66
vi Table des mati`eres
8.2 Repr´esentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68
8.3 Alg`ebre de Lie de SU(2) : repr´esentations irr´eductibles . . . . . . 70
8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73
8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la m´ecanique quantique . . . . . . 75
9 Groupes de Lie plus g´en´eraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77
9.1 Groupes matriciels et alg`ebres deLie . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 Alg`ebre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81
9.4 Un exemple : l’alg`ebre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83
9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.7 Alg`ebre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.8 Repr´esentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.10 Repr´esentations irr´eductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94
10 Alg`ebres de Lie et op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . 97
10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
11 Groupe lin´eaire g´en´eral GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107
11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108
11.2 Groupe sym´etrique et tenseurs : r´eduction des repr´esentations . 111
12 Sym´etries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115
12.1 Les ´equations du mouvement en m´ecanique lagrangienne . . . . 115
12.2 M´ecanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117
12.4 Sym´etries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119
12.5 Th´eorie classique des champs. Th´eor`eme deNoether . . . . . . 122
13 Sym´etries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125
13.1 Rappels minimaux de m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 125
13.2 Op´erateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127
14 Marche au hasard : sym´etries ´emergentes . . . . . . . . . . . 133
14.1 Sym´etrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
15 Brisure spontan´ee de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141
15.1 M´ecanique classique : sym´etries discr`etes et continues . . . . . 141
15.2 Th´eorie des champs, sym´etries continues et modes de Goldstone . 143
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149
16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151
16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152
16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154
16.5 Sym´etrie Z2 et propri´et´es universelles . . . . . . . . . . . . 155
16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157
16.7 Fonctions de corr´elation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161
Table des mati`eres vii
16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163
Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167
A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167
A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171
A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175
A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175
A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176
A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe d eLorentz . . . . . . . 178
A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
