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Groupes de symétries en physique

Brisure spontanée et transitions de phase

Collection: Savoirs Actuels
august 2022
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Presentation

Le XXe siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires et dans la théorie des transitions de phase.Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la foisélémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N). Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des transitions de phase.Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans lecontexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master, aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants.

Resume

Table des mati`eres

1 Quelques r´eflexions sur le rˆole des sym´etries en physique . . . . . . 1

2 La notion de groupe. D´efinition et propri´et´es . . . . . . . . . . . 5

2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Groupes ab´eliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Groupe sym´etrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Transformations lin´eaires du r´eseau cubique g´en´eral . . . . . . . . 12

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Groupes ab´eliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17

3.1 Translations sur la droite r´eelle et dilatations . . . . . . . . . . 17

3.2 Groupe U(1). Repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Groupes de matrice et alg`ebres : g´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Alg`ebres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Isomorphismes g´en´eraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 D´eterminants et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Transformations lin´eaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7 Repr´esentations r´eductibles et irr´eductibles . . . . . . . . . . . 30

5 Groupes de Lie : rotations et r´eflexions du plan . . . . . . . . . . 31

5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Repr´esentations : formes bilin´eaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35

5.4 D´ecomposition en repr´esentations irr´eductibles . . . . . . . . . . 37

5.5 Repr´esentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40

5.6 Repr´esentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 M´ecanique quantique et repr´esentations de dimension infinie . . . . 42

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Alg`ebres et groupes deLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1 D´efinition et propri´et´es g´en´erales . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Groupe et alg`ebre de Lie : repr´esentation adjointe . . . . . . . . 48

6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et alg`ebre de Lie . . . 50

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55

7.1 Groupe SO(3) et alg`ebre deLie . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 Repr´esentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Les repr´esentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60

7.4 M´ecanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62

7.5 Espace de fonctions et repr´esentations . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66

vi Table des mati`eres

8.2 Repr´esentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68

8.3 Alg`ebre de Lie de SU(2) : repr´esentations irr´eductibles . . . . . . 70

8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la m´ecanique quantique . . . . . . 75

9 Groupes de Lie plus g´en´eraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77

9.1 Groupes matriciels et alg`ebres deLie . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Alg`ebre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81

9.4 Un exemple : l’alg`ebre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83

9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.7 Alg`ebre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.8 Repr´esentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.10 Repr´esentations irr´eductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94

10 Alg`ebres de Lie et op´erateurs diff´erentiels . . . . . . . . . . . . 97

10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11 Groupe lin´eaire g´en´eral GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.2 Groupe sym´etrique et tenseurs : r´eduction des repr´esentations . 111

12 Sym´etries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.1 Les ´equations du mouvement en m´ecanique lagrangienne . . . . 115

12.2 M´ecanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117

12.4 Sym´etries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119

12.5 Th´eorie classique des champs. Th´eor`eme deNoether . . . . . . 122

13 Sym´etries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125

13.1 Rappels minimaux de m´ecanique quantique . . . . . . . . . . 125

13.2 Op´erateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127

14 Marche au hasard : sym´etries ´emergentes . . . . . . . . . . . 133

14.1 Sym´etrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15 Brisure spontan´ee de sym´etrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141

15.1 M´ecanique classique : sym´etries discr`etes et continues . . . . . 141

15.2 Th´eorie des champs, sym´etries continues et modes de Goldstone . 143

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149

16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151

16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152

16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154

16.5 Sym´etrie Z2 et propri´et´es universelles . . . . . . . . . . . . 155

16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157

16.7 Fonctions de corr´elation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161

Table des mati`eres vii

16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163

Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167

A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167

A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171

A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175

A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175

A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176

A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe d eLorentz . . . . . . . 178

A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Compléments

Characteristics

Language(s): French

Audience(s): Students, Research

Publisher: EDP Sciences

Collection: Savoirs Actuels

Published: 25 august 2022

EAN13 (hardcopy): 9782987527640

EAN13 Paper book: 9782759827640

EAN13 eBook [PDF]: 9782759827657

Interior: Black & white

Format (in mm) Paper book: 155 x 230

Pages count Paper book: 196

Weight (in grammes): 340 (Paper book)

Size: 1,3 Mo (PDF)