Chapitre 1 Groupes, anneaux et corps 7
1.1 Groupes . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Loi decomposition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Définition d’un groupe et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.3 Sous-groupes . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.4 Opérations sur les sous-groupes . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 20
1.1.5 Morphismes degroupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Anneaux et corps .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 28
1.2.2 Sous-anneaux etsous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.3 Règles de calcul dans un anneau . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 32
1.2.4 Opérations sur les sous-anneaux et sous-corps . . . .. . . . . . . . 36
1.2.5 Morphismes d’anneaux (ou de corps) . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Chapitre 2 Relations, ensembles N, Z, Q et R 47
2.1 Relations . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.1 Généralités sur lesrelations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2 Relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 50
2.1.2.a Ordre total etordre partiel . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.2.b Majorant,minorant, plus grand et plus petit élément . . . 53
2.1.2.c Borne supérieure et borne inférieure. . . . . . . . . . . . 56
2.1.2.d Applicationscroissantes, d´ecroissantes et monotones . . . 58
2.1.3 Relation d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 60
2.2 Ensemble N et principe de récurrence . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2.1 D´définition de l’ensembleN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61
2.2.2 Principe de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62
2.2.2.a Récurrence simple . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 62
2.2.2.b Récurrence double . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 65
2.2.2.c Récurrence forte . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 66
2.2.2.d récurrence finie et récurrencedescendante . . . . . . . . . 67
2.3 Ensemble Z et valeur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 69
2.3.1 Ensemble Z et structure d’anneau . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.3.2 Valeur absoluedans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 71
2.4 Ensembles desnombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 71
2.4.1 Corps desnombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Corps desnombres réels et relation d’ordre . .. . . . . . . . . . . . 72
2.4.3 Valeur absolue .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.4.4 Propriétés de la borne supérieure et de la borne inférieure . . . . . 75
2.4.5 Partie entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 79
2.4.6 Caractérisation des intervalles de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4.7 Droite numérique achevée . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.8 Densité de Q etde R \ Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.4.9 Valeurs d´décimales approchées d’un nombre réel . . . . . . . . . . . 87
2.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.6.1 Construction de Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96
2.6.2 Ensembles finiset d´encombrements . . . . . . . . . . . . . . . . . . .105
2.6.2.a Définitions et théorème fondamental . . . . . . . . . . . . 105
2.6.2.b Parties de N et parties d’un ensemblefini . . . . . . . . . 109
2.6.2.c Critère de bijection pour les ensembles finis . . . . .. . . 114
2.6.2.d Dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 117
2.6.2.e Cardinal d’une réunion et du complémentaire d’une partie 117
2.6.2.f Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117
2.6.2.g Ensemble desapplications de E vers F . . . . . . . . . . . 118
2.6.2.h Cardinal de P(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2.6.2.i Arrangements,nombres d’injections et nombres de bijections
d’unensemble dans lui-même . . . . . . . . . . . . . 121
2.6.2.j Combinaisonset coefficients binomiaux . . . . . . . . . . . 123
2.6.2.k Propriétés des coefficients binomiaux . . . . . . . .. . . . 124
Chapitre 3 Suites de nombres réels ou complexes125
3.1 Suites de nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 126
3.1.1 Généralités . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.1.2 Operations surles suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.1.3 Suites extraites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2 Suites d´définies par une relation de récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.2.1 Suites arithmétiques et géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.2 Notations Σ et Π . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 137
3.2.3 Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 `a coefficients constants . . . . 142
3.3 Limite d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 150
3.3.1 Convergence versun réel : définition et propriétés . . . . . . . . . 150
3.3.2 Convergence etsigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
3.3.3 Divergence d’une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .155
3.3.3.a Divergencevers +∞ ou vers −∞ . .. . . . . . . . . . . . 156
3.3.3.b Autres modesde divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.3.4 Operations surles suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3 Mathématiques supérieures 1
3.3.4.a Espacevectoriel des suites convergeant vers 0 . . . . . . . 158
3.3.4.b Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . 160
3.3.5 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre . . . . 164
3.3.6 Convergence etsuites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.3.7 Caractérisation de la densité parles suites . . . . . . . . . . . . . . 173
3.4 Théorèmes d’existence delimite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.4.1 Théorèmes de convergence et de divergence monotone. . . . . . . . 174
3.4.2 Application du théorème de la limite monotone aux s´séries à termes
positifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3.4.3 Théorème des suites adjacentes et théorème des segments emboités 187
3.4.4 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 190
3.5 Relations de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.1 Suites dominées ou négligeables parrapport à une autre . . . . . . 192
3.5.2 Suites ´équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 193
3.5.3 Comparaison dessuites de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . .198
3.5.4 Développement asymptotique d’unesuite . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.6 Suites `a valeurscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.6.1 Définitions et convergence d’unesuite complexe . . . . . . . . . . . 202
3.6.2 Lien avec lesparties réelle et imaginaire . . . . . . . . . . . . . . .204
3.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Chapitre 4 Espaces vectoriels et applications linéaires215
4.1 Espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.1.1 Définition et exemples usuels . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 216
4.1.2 Règles de calcul dans un espace vectoriel . . . . . .. . . . . . . . . 219
4.1.3 Sous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2 Operations sur lesespaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.2.1 Intersection etsous-espace engendre par une partie . . . . . . . . . 225
4.2.2 Somme desous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
4.2.3 Sommes directeset sous-espaces vectoriels supplémentaires . . . . . 236
4.2.4 Produit cartésien de deux espaces vectoriels . . . . . . . . . .. . . 241
4.3 Sous-espacesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.3.1 Translations etgroupes des translations d’un espace vectoriel . . . .243
4.3.2 Définition d’un sous-espaceaffine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.3.3 Parallélisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 247
4.3.4 Intersection dedeux sous-espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.4 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 249
4.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 249
4.4.2 Noyau et image d’une application linéaire . . . . . .. . . . . . . . . 253
4.4.3 ´Equations linéaires . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
4.4.4 Ensembles desapplications linéaires L(E,F) . . . . . . . . . . . . . 259
4.4.5 Isomorphismes,automorphismes et groupe linéaires . . . . . . . . . . 263
4.4.6 Restriction etrecollement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.4.7 Hyperplans d’un espace vectoriel et formes linéaires . . . . . . . . . 268
4.4.8 ´Etude d’applications linéaires remarquables . . . . . . . . . . . . . 271
4.4.8.a Homothéties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 271
4.4.8.b Projecteurs .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.4.8.c Symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 276
4.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
Chapitre 5 Arithmétique dans Z 287
5.1 Arithmétique dans Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 288
5.1.1 Diviseurs etcongruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.1.2 Nombres premierset décomposition en produit de facteurs premiers 291
5.1.3 Divisioneuclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
5.1.4 Sous-groupes de(Z,+) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.1.5 Plus grandcommun diviseur et plus petit commun multiple . . . . 296
5.1.6 Théorème de Bézout etalgorithme d’Euclide . . . . . . . . . . . . . 298
5.1.7 Lemme d’Euclide et théorème de Gauss . .. . . . . . . . . . . . . . 302
5.2 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.3 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.3.1 Anneaux Z/nZ et quelques propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.3.2 Corps Z/pZ et ´élémentsinversibles de Z/nZ . . . . . . . . . . . . . 312
Chapitre 6 Fonctions r´eelles ou complexes d’unevariable réelle 313
6.1 Généralités sur lesfonctions d’une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.1.1 Ensemble F(I,K)et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . .314
6.1.2 Ensemble B(I,K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
6.1.3 Fonctions périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 317
6.1.4 Fonctions paireset fonctions impaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
6.1.5 Fonctionslipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6.1.6 Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
6.2 ´Etude locale d’une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2.1 Voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .323
6.2.2 Limite d’une fonction en un point et continuité en un point . . . . . 325
6.2.3 Operations algébriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . .. . . 335
6.2.4 Compatibilité du passage à la limite avecla relation d’ordre dans R 341
6.2.5 Composition delimites et caractérisation séquentiellede la limite . 348
6.2.6 Théorème de la limite monotone . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 353
6.3 Relations decomparaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
6.3.1 Fonctions dominées et fonctions négligeablespar rapport `a une autre
au voisinage d’un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .356
6.3.2 Comparaison desfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.3.3 Fonctions équivalentes en un point . . . . . . . . . . . . . .. . . . 364
6.3.4 Equivalentsusuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
6.4 Continuité globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 372
6.4.1 Définition et premi7res propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6.4.2 Composée de deux fonctions continues . . . . . . . . . . .. . . . . 374
6.4.3 Restriction et caractère « local » de la continuité . . . . . . . .. . . 375
6.4.4 Prolongement parcontinuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.4.5 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
6.4.6 Image d’un segment par une fonction continue . . . . . . . . . . . .381
6.4.7 Continuité de la bijection réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . 383
6.4.8 Continuité uniforme et théorème de Heine . . . . . . . . . . . . . . 384
6.5 Bilan sur les différences entre fonctions `a valeurs réelles ou complexes . . . 389
6.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Chapitre 7 Polynômes et fractions rationnelles 396
7.1 Ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 397
7.1.1 Algèbres et morphisme d’algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.1.2 Définition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .401
7.1.3 Operationsusuelles sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.1.4 Dérivation sur l’ensemble despolynômes . . . . . . . . . . . . . . . 409
7.2 Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 412
7.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 412
7.2.2 Propriétés du degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
7.2.3 Conséquences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 414
7.3 Arithmétique dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.1 Divisibilité dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
7.3.2 Divisioneuclidienne dans K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
7.3.3 Idéaux de K[X] .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
7.3.4 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 425
7.3.5 Théorème de Bézout et théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 427
7.4 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 429
7.4.1 Fonctionpolynomiale associée à un polynôme . . . . . . . . . . . . 429
7.4.2 Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 430
7.4.3 Formule deTaylor et multiplicité d’une racine . . .. . . . . . . . . 432
7.4.4 Méthodes pour montrer que deux polynômes sont égaux . . . . . .436
7.4.5 Polynômes scindes et relations entre racines etcoefficients . . . . . 437
7.5 Polynômes irréductibles etfactorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
7.5.1 ´Eléments irréductibles dans C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
7.5.2 ´Eléments irréductibles dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
7.6 Ensemble K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 442
7.6.1 Corps desfractions rationnelles K(X) .. . . . . . . . . . . . . . . . 442
7.6.2 Dérivation et degré . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
7.6.3 Zéros et pôles d’une fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.6.4 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . .446
7.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
