Chapitre 1 Dérivation et développements limités 8
1.1 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Interprétations graphique et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Développement limité d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Dérivée d’une bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22
1.3 ´Etude globale des fonctions d´dérivables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.1 Caractérisation des extrema locaux . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 28
1.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.3 Égalité et inégalité desaccroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.4 Application auxvariations d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
1.3.5 Applications auxsuites récurrentes de la forme un+1 = f(un) . . . . . . . 42
1.3.6 Théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43
1.4 Définition et propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.5 Opérations sur les développementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.5.2 Inverse . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.5.3 Intégration et dérivation d’un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.6 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.6.1 Formule deTaylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange . . . 55
1.6.2 Formule deTaylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.6.3 Formule (ou égalité) deTaylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.6.4 Application auxfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.7 Applications des développements limités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.7.1 ´Etude des limites ou recherche d’équivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.7.2 ´Etude de position d’unecourbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . 65
1.7.3 Développement asymptotique et ´étude de position par rapport `a une
asymptote . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.7.4 Recherche d’extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66
1.7.5 Nature d’un point stationnaire d’une courbe paramétrée . . . . . . . . . . 67
1.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Table des matières
Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie77
2.1 Familles devecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.1 Famille libre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 86
2.1.3 Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 88
2.1.4 Caractérisation d’une application linéaires par l’image d’une base . . . . . 92
2.2 Dimension d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 96
2.2.1 D´définition et exemples . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète . . . . . . . . . . . . 96
2.2.3 Dimension d’un espace vectoriel et caractérisationdes bases . . . . . . . . 101
2.3 Propriétés de la dimension . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.1 Dimensions d’un produit cartésien et d’une somme directe . . . . . . . . . 107
2.3.2 Dimension d’un sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109
2.3.3 Dimension d’une somme de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires
par les bases . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.3.5 Rang d’une famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 115
2.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4.1 Définition du rang d’uneapplication linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.4.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119
2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des ´éléments inversibles de L(E) .. 122
2.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension . . 129
Chapitre 3 Matrices 131
3.1 Définition d’une matrice . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2 opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.2.1 Structure d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133
3.2.2 Base canoniquede Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.2.3 Produitmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.2.4 Transposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 140
3.3.1 Algèbre Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 140
3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) .. . . . . . . . . . . . . . 142
3.3.3 Sous-ensemblesremarquables de Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.3.a Matricesdiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.3.3.b Matricestriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.3.3.c Matrices symétriques et antisymétriques. . . . . . . . . . . . . . 150
3.4 Matrices etapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 151
3.4.1 Définition de la matrice d’uneapplication linéaires relativement `a deux bases …151
3.4.2 Propriétés ´élémentaires des matrices d’applicationslinéaires . . . . . . . . 155
3.4.3 Isomorphismecanonique de L(Kp,Kn)sur Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . 157
3.4.4 Cas des formes linéaires : ´équations cartésiennes d’un hyperplan . .. . . 161
3.5 Matrice d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162
3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E)sur Mn(K) .. . . . . . . . . . . . . 162
3.5.2 Matrice d’une famille finie de vecteurs dans une base . . . . . . . .. . . . 168
3.5.3 Matrice depassage et changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.6 Rang d’une matrice et opérations ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 173
3.6.1 Définition du rang d’unematrice et première caractérisation . . . .. . . . 173
3.6.2 opérations ´élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) . . . .. . . . . . . 176
3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang d’unematrice (ou
l’inversed’une matrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 182
3.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace d’une matrice carrée . . . . . 191
3.7.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 191
3.7.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.7.3 Trace d’une matrice carrée et trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . 193
3.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Chapitre 4 Intégration des fonctions d’unevariable réelle 203
4.1 Intégration sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.1.1 Fonction enescalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.1.2 Intégrale sur un segment d’unefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 207
4.1.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 209
4.1.3.a Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 209
4.1.3.b Monotonie . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.1.3.c Relation deChasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.2 Intégrale sur un segment d’unefonction continue par morceaux . . . . . . . . . . 211
4.2.1 Fonctionscontinues par morceaux et approximation uniforme par des
fonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.2.2 Définition de l’intégrale d’une fonctioncontinue par morceaux . . . . . . . 214
4.2.3 Extension auxfonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 216
4.2.4 Linéarité ,monotonie et relation de Chasles . . . . .. . . . . . . . . . . . 216
4.2.5 Valeur moyenneet inégalité de la moyenne .. . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2.6 Cas desfonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a,b] ,R) et
inégalité deCauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.3 Approximation de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 227
4.3.1 Sommes deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
4.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale . . . . . . . . . . . . 231
4.3.3 Méthodes des trapèzes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.4 Intégration et dérivation . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.4.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238
4.4.2 Fonctioncontinue par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 239
4.4.3 Intégrale de la borne supérieureet théorème fondamental . . . . . . . . . 240
4.5 Calcul d’intégrales et de primitives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 243
4.5.2 Changement devariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.5.3 Cas desfonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.5.4 Fonctionsrationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.5.5 Autres exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.6 Intégrale généralisée sur unintervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
4.6.1 Définition de la convergence d’uneintégrale généralisée . . . . . . .. . . 255
4.6.2 Propriétés ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 260
4.6.3 Cas particulierdes fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.6.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 264
4.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives . .. . . . . . . . . . . 267
4.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lienavec la convergence270
4.6.7 Bilan sur les méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 273
4.6.8 Extension auxfonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre
fini de points . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
4.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
4.8 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
4.8.1 Démonstration du théorème d’approximation . . . .. . . . . . . . . . . . 290
4.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann . . . . . . . . . .. . . . . . . . 292
Chapitre 5 Séries numériques 294
5.1 Généralités sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 295
5.1.1 Définitions et vocabulaire des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.1.2 Convergence,divergence, divergence grossière et convergence absolue . . . 296
5.1.3 Opérations sur les sériesconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
5.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
5.2.1 Convergence,divergence et comparaison des termes généraux . . . . . . . 300
5.2.2 Comparaison série-intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
5.2.3 Séries positives de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 312
5.2.4 Critère de d’Alembert . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
5.3 Séries réelles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
5.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 317
5.3.2 Critère spécial pour les séries alternées . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 318
5.3.3 Séries et sommes réelles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 322
5.3.4 Bilan des méthodes d’étude des séries réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 325
5.4 Séries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 329
5.4.2 Séries complexes de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 330
5.5 Familles sommableset théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 331
5.5.1 Notion de dénombrabilité . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.5.2 Famillessommables de nombres réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . .337
5.5.3 Séries doubles `a termes positifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 341
5.5.4 Famillessommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
5.5.5 Séries doubles complexes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 351
5.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
5.7 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
5.7.1 Transformation d’Abel et critère pour les sériestrigonométriques . . . . . 366
5.7.2 Théorème d’associativité pour les familles sommables . . . . . . . . . . .371
Chapitre 6 Probabilités discrètes 375
6.1 Notion de tribu etdéfinition d’une probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
6.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales . . . . . . 383
6.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
6.4 Indépendance d’évènements ou de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 388
6.5 Définition d’une probabilité discrète . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
6.6 Variables aléatoires discrètes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
6.7 Espérance, variance et moments . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.8 Inégalités de Markov etde Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
6.9 Sommes devariables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes . . . . . . . . 405
6.10 Calculs d’espérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes . 407
6.11 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Chapitre 7 Fonctions convexes 413
7.1 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
7.1.1 D´définition et interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 414
7.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes . . . . . . . . . . . 416
7.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est d´erivable . . . .. . . . . . . 418
7.1.4 Régularité des fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
7.2 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 421
7.2.1 Inégalité généralisée de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
7.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique . . . . . . . . . . . . 423
7.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires 425
8.1 Définition du déterminant . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
8.1.1 Formes n-linéaires, formes alternéeset antisymétriques . . . . . . . . . . . 426
8.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimensionde l’espace
Λn(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
8.1.3 Définition du déterminant dansune base B et propriétés élémentaires . . 431
8.1.4 Caractérisation des bases de E parle d´déterminant . . . . . . . . . . . . . 432
8.2 Déterminant d’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 433
8.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes . . . . . . 435
8.3 Déterminant d’une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 436
8.3.1 Définition et propriétés « simples » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
8.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . 439
8.3.3 opérations ´élémentaires sur les lignes ou colonnes . . . . . . .. . . . . . 440
8.3.4 Cas particulier: cas des matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 441
8.3.5 Lien avec le déterminant de l’application linéaires associée et conséquences 442
8.4 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 444
8.4.1 Définitions et structure des solutions . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 444
8.4.2 Rang d’un système linéaires etdimension de l’espace homogène associé . . 445
8.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer . . . . . . . .. . . . 445
8.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système . . . . . . .. . . . 449
8.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Chapitre 9 Espaces euclidiens 456
9.1 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
9.1.1 Définition d’un produitscalaire et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
9.1.2 Inégalité deCauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée . . . 461
9.1.3 Propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 463
9.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 464
9.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 464
9.2.2 Propriétés des familles orthogonales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 467
9.3 Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
9.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 469
9.3.2 Orthogonal d’une partie et existence de bases orthonormées . . . . . . . . 469
9.3.3 Projecteursorthogonaux et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . .473
9.3.4 Procède d’orthonormalisassionsde Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
9.3.5 Isomorphismenaturel entre E et son dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
9.4 Automorphismesorthogonaux d’un espace euclidien . . . . . . . . . . .. . . . . 481
9.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 481
9.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux . . . . .. . . . . . . . 483
9.4.3 Matricesorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
9.5 Automorphismesorthogonaux du plan et étude des groupes O2(R) etSO2(R) .. 491
9.5.1 ´Etude des groupes O2(R) et SO2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
9.5.2 Rotations duplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
9.5.3 Réflexions et décomposition d’une rotation en produit de deux réflexions . 494
9.6 Automorphismesorthogonaux de l’espace et étude du groupe O3(R) . . . . . . . 497
9.6.1 Etude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 497
9.6.2 Etude pratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
9.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
