Avant-propos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Partie I. Analyse fonctionnelle
1. Espaces vectoriels topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Espaces vectoriels normés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Parties convexes, bornées, équilibrées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Espaces de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Semi-normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Espaces de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6. L’espace des fonctions continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2. Théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1. Rappels de calcul différentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2. Théorème du point fixe de Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3. Théorème d’inversion locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.4. Théorème de Cauchy-Lipschitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5. Théorèmes de Caristi et d’Ekeland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6. Théorème du point fixe de Brouwer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7. Théorème de l’invariance du domaine de Brouwer. . . . . . . . . . . . 47
2.8. Théorème de Nash. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3. Analyse hilbertienne, dualité et convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.1. Introduction aux espaces de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2. Bases hilbertiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.3. Théorème de Hahn-Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.5. Convergence faible, convergence faible étoile. . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6. Théorème de Banach-Alaoglu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Partie II. Analyse harmonique
4. Séries de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Fonctions de carrés intégrables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.3. Convergence simple et convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4. Applications de la formule de Plancherel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. Théorème de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5. Transformation de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.2. Classe de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.3. Distributions tempérées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.4. Décomposition de Littlewood-Paley. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6. Convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.1. Définition du produit de convolution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2. Approximations de l’identité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.3. Fonction maximale de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.4. Convergence simple d’une approximation de l’identité. . . . . . . . 144
6.5. Inégalité de Hardy-Littlewood-Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
6.6. Inégalités de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
6.7. Formule de reconstruction de Calderón et ondelettes. . . . . . . . . 151
6.8. Théorème taubérien de Wiener. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.9. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
7. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.2. Inégalité de Poincaré et problème de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3. Espaces de Sobolev définis sur un ouvert quelconque. . . . . . . . . 170
7.4. Analyse de Fourier et espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
7.5. Injections de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6. Caractérisation dyadique des espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . 186
7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8. Fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.1. Propriété de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.2. Solution fondamentale du laplacien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
8.3. Régularité des fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
8.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Partie III. Analyse microlocale
9. Opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.1. Symboles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
9.2. Continuité des opérateurs pseudo-différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . 213
9.3. Généralisations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.4. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
10. Calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.1. Introduction au calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
10.2. Intégrales oscillantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
10.3. Adjoint et composition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
10.4. Applications du calcul symbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
10.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
11. Équations hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.1. Équations de transport. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
11.2. Équations hyperboliques pseudo-différentielles. . . . . . . . . . . . . . 256
11.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
12. Singularités microlocales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.1. Propriétés locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
12.2. Front d’onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
12.3. Théorème de propagation des singularités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
12.4. Problèmes non linéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
12.5. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
Partie IV. Analyse des équations aux dérivées partielles
13. Le problème de Calderón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
13.2. Densité des produits de fonctions harmoniques. . . . . . . . . . . . . . 284
13.3. Équations à coefficients variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
13.4. Théorème de Sylvester-Uhlmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
13.5. Un exercice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14. Théorème de De Giorgi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
14.2. Sous-solutions et transformations non linéaires. . . . . . . . . . . . . . 298
14.3. Itérations de Moser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
14.4. Inégalité de Harnack. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
14.5. Régularité höldérienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
14.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
15. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.1. Moyennes locales et équations elliptiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
15.2. Moyennes locales et espaces de Hölder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
15.3. Théorème de Campanato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
15.4. Théorème de Schauder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
15.5. Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
15.6. Régularité des surfaces minimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
15.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
16. Estimations dispersives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.1. L’équation de Schrödinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
16.2. Estimée de Strichartz-Bourgain pour KdV. . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
16.3. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Partie V. Rappels et solutions des exercices
17. Rappels de Topologie générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
A. Espaces topologiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
B. Séparabilité, compacité et complétude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
C. Théorème de Baire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
D. Fonctions régulières à support compact. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
E. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
18. Inégalités dans les espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
A. Les espaces Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
B. Inégalités de Hölder, Minkowski et Hardy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
C. Fonction de distribution et théorème de Marcinkiewicz. . . . . . . . 373
D. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
19. Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Développements pour l’agrégation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
