1. Programmation linéaire mixte 1
1.1 Formulation 2
1.1.1 Problème linéaire en variables mixtes 2
1.1.2 Techniques de linéarisation 4
1.1.3 Techniques de réduction 10
1.2 Méthodes de coupes 12
1.2.1 Coupe sur une variable 12
1.2.2 Coupe sur le coût 14
1.2.3 Méthode de Gomory 15
1.2.4 Coupe intégrale 21
1.2.5 Coupe mixte 23
1.3 Méthodes arborescentes 31
1.3.1 Énumération implicite 31
1.3.2 Séparation 31
1.3.3 Évaluation 33
1.3.4 Stratégie d’exploration 51
1.4 Applications 58
1.4.1 Problème du voyageur de commerce 58
1.4.2 Problème d’affectation 62
1.4.3 Problème de coloration 66
1.4.4 Problème de flot 68
1.4.5 Problème du sac à dos 71
1.5 Problème quadratique 73
1.5.1 Méthode arborescente 73
1.5.2 Convexification 75
1.5.3 Problème d’affectation quadratique 80
1.6 Conclusion 81
1.6.1 Les points essentiels 81
1.6.2 Pour aller plus loin 82
2. Optimisation discrète 83
2.1 Problème combinatoire 84
2.1.1 Graphe 84
2.1.2 Parcours d’un graphe 87
2.1.3 Complexité 91
2.2 Problème de chemin 95
2.2.1 Algorithme de Ford 95
2.2.2 Algorithme de Bellman 98
2.2.3 Algorithme de Dijkstra 107
2.2.4 Algorithme A* 110
2.2.5 Algorithme de Demoucron et Floyd 124
2.3 Problème d’ordonnancement 128
2.3.1 Méthode PERT 129
2.3.2 Méthode MPM 132
2.3.3 Marges 136
2.4 Problème de flot 138
2.4.1 Algorithme de Ford-Fulkerson 138
2.4.2 Algorithmede Roy-Busacker-Gowen 144
2.5 Problème d’affectation 149
2.5.1 Problème de flot équivalent 149
2.5.2 Méthode hongroise 152
2.5.3 Justification théorique 159
2.6 Heuristiques 163
2.6.1 Problème d’empilement 164
2.6.2 Problème d’emboîtement 165
2.6.3 Problème de recouvrement 166
2.6.4 Problème de coloration 168
2.6.5 Problème du voyageur de commerce 172
2.7 Conclusion 175
2.7.1 Les points essentiels 175
2.7.2 Pour aller plus loin 175
3. Optimisation fonctionnelle 177
3.1 Formulation 178
3.1.1 Fonctionnelle 178
3.1.2 Voisinage 178
3.1.3 Variation 179
3.1.4 Minimum 180
3.1.5 Problème standard 181
3.2 Conditions d’optimalité 184
3.2.1 Conditions nécessaires de minimum faible 184
3.2.2 Conditions suffisantes de minimum faible 196
3.2.3 Conditions nécessaires de coin 205
3.2.4 Conditions nécessaires de minimum fort 214
3.2.5 Récapitulatif 218
3.3 Contraintes 219
3.3.1 Contrainte finale 219
3.3.2 Contrainte intégrale 226
3.3.3 Contrainte courante 232
3.4 Forme canonique 234
3.4.1 Changements de variables 234
3.4.2 Variables canoniques 237
3.4.3 Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman 241
3.4.4 Application à la mécanique 244
3.5 Système dynamique 248
3.5.1 Formulation d’état 248
3.5.2 Stabilité 250
3.5.3 Système linéaire 256
3.5.4 Problème aux deux bouts 264
3.6 Conclusion 267
3.6.1 Les points essentiels 267
3.6.2 Pour aller plus loin 267
4. Contrôle optimal 269
4.1 Conditions d’optimalité 270
4.1.1 Problème de contrôle 270
4.1.2 Principe du minimum 272
4.1.3 Méthode variationnelle 281
4.1.4 Problème aux deux bouts 292
4.2 Contraintes 304
4.2.1 Contraintes terminales 304
4.2.2 Contraintes intérieures 311
4.2.3 Contraintes courantes 315
4.2.4 Problème linéaire quadratique 323
4.2.5 Contrôle robuste 333
4.3 Extrémales 337
4.3.1 Définitions 337
4.3.2 Extrémale anormale 338
4.3.3 Extrémale singulière 341
4.3.4 Extrémale voisine 346
4.3.5 Commande en retour d’état 352
4.3.6 Équation de Hamilton-Jacobi-Bellman 356
4.4 Conditions d’optimalité d’ordre 2 362
4.4.1 Problème de minimum auxiliaire 362
4.4.2 Conditions suffisantes de minimum 368
4.4.3 Arcs singuliers 372
4.5 Conclusion 389
4.5.1 Les points essentiels 389
4.5.2 Pour aller plus loin 390
5. Méthodes numériques encontrôle optimal 391
5.1 Transcription 392
5.1.1 Équations différentielles 393
5.1.2 Méthodes directes et indirectes 396
5.2 Méthodes de Runge-Kutta 398
5.2.1 Formules de quadrature 398
5.2.2 Analyse d’erreur 405
5.2.3 Conditions d’ordre 411
5.2.4 Méthodes emboîtées 415
5.3 Méthodes d’Adams 418
5.3.1 Méthodes d’Adams-Bashford 419
5.3.2 Méthodes d’Adams-Moulton 420
5.4 Méthodes de collocation 423
5.4.1 Conditions de collocation 423
5.4.2 Points de collocation 424
5.4.3 Collocation de degré 3 426
5.4.4 Collocation de degré 5 429
5.5 Méthodes directes 431
5.5.1 Discrétisation 431
5.5.2 Approche variationnelle 433
5.6 Méthodes indirectes 440
5.6.1 Méthode de tir 440
5.6.2 Approche variationnelle 450
5.7 Conclusion 455
5.7.1 Les points essentiels 455
5.7.2 Pour aller plus loin 455
Index
Bibliographie
