I Introduction et méthodes d’analyse . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Problèmes abordés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Les équations traitées . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Équations hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Équations paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Méthode des différences finies . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.2 Ordre d’une approximation différences finies . . . . . .. . . . . . . . . . . . 11
3.3 Schémas pour l’équation d’advection . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3.1 Ordre de consistance d’un schéma . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 12
3.3.2 Théorème de Lax-Richtmyer . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 13
3.3.3 Exemples de schémas . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 14
4 Méthodes d’analyse des schémas . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.1 Méthodes opératorielles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Analyse de Fourier des schémas . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.2.1 Les différentes formes de la transformation de Fourier. . . . . 23
4.2.2 Transformation de Fourier semi-discrète . . . . . . .. . . . . . . . . 24
4.2.3 Transformation de Fourier discrète . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 31
4.2.4 Visualisation dans l’espace réciproque, dispersion et
dissipation d’un schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 32
4.2.5 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 41
4.3 Méthode de l’équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3.1 Première méthode : développement de Taylor et récursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Seconde méthode : analyse de Fourier . . . . . . . . .. . . . . . . . . 46
4.3.3 Calcul par méthode opératorielle . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 48
4.3.4 Validité de l’équation équivalente à nombre fini de termes . . 49
4.3.5 Solution de l’équation équivalente à un terme pour l’équation d’advection . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 55
4.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
II Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 Schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1 Schéma upwind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.1.1 Méthode opératorielle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 64
5.1.2 Analyse de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.1.3 Solution de l’équation équivalente . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 69
5.1.4 Conclusion sur les solutions exactes et approchées . .. . . . . . 75
5.2 Schéma centré semi-discrétisé . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.2.2 Fonction de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3 Schéma saute-mouton . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.3.1 Solution par la méthode de l’équation équivalente . .. . . . . . 82
5.3.2 Solution exacte pour la fonction de Green . . . . . .. . . . . . . . . 83
5.3.3 Approximation de la solution exacte . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 88
5.3.4 Solution exacte et approximation de l’équation équivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.3.5 Conclusion sur le schéma saute-mouton . . . . . . . .. . . . . . . . 94
5.4 Conclusion sur les schémas non dissipatifs . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 95
5.5 Schéma de Lax-Wendroff . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.5.1 Solution exacte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5.2 Étude par la méthode de l’équation équivalente . . . .. . . . . . 98
5.6 Le schéma de Beam-Warming . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 105
5.6.1 Analyse du schéma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 107
5.7 Propagation de fronts avec des schémas d’ordre 2dissipatifs . . . . . . . 109
5.7.1 Artéfacts des schémas linéaires pour une condition initiale marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.7.2 Comment obtenir des profils monotones ? . . . . . . .. . . . . . . 111
5.8 Conclusion sur les schémas d’ordre 2 . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 114
5.9 Schémas d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.10 Schémas d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.10.1 Schémas d’ordre élevé non dissipatifs . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 119
5.10.2 Schémas d’ordre élevé dissipatifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 124
5.10.3 Un exemple de schéma dissipatif d’ordre 4 . . . . . .. . . . . . . . 125
5.10.4 Schémas de Strang d’ordre impair . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 128
5.10.5 Conclusion sur les schémas d’ordre élevé . . . . . .. . . . . . . . . . 128
5.11 Conclusion sur les schémas pour l’advection 1D . . . .. . . . . . . . . . . . 129
5.12 Schémas pour l’advection en 2D . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.12.1 Schéma upwind sur maillage carré . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 130
5.12.2 Schéma splitté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.12.3 Fonctions de Green . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 133
5.12.4 Conclusion sur l’advection sur maillage carré . . . .. . . . . . . . 134
6 Schémas pour l’équation des ondes 1D . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 137
6.1 Équation des ondes continue . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.2 Schémas dérivés des schémas pour l’équation d’advection. . . . . . . . 138
6.3 Schéma de Yee en 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
6.3.1 Formulation du schéma pour le système des ondes . . .. . . . . 139
6.3.2 Réinterprétation comme une discrétisation de l’équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7 Schémas pour l’équation des ondes en 2D . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 145
7.1 Fonctions de Green pour l’équation des ondes continue .. . . . . . . . . 145
7.1.1 Source Dirac impulsive . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 146
7.1.2 Conditions initiales Dirac sur la dérivée . . . . . .. . . . . . . . . . 147
7.1.3 Conditions initiales Dirac sur la fonction . . . . . .. . . . . . . . . 147
7.2 Schéma semi-discrétisé en 2D . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.1 Solution exacte en Fourier . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 148
7.2.2 Approximation par phase stationnaire . . . . . . . . .. . . . . . . . . 149
7.2.3 Solution sur l’axe des x . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 150
7.2.4 Solution sur la diagonale X = Y > 0 . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 154
7.3 Approximation équation équivalente . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 159
7.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8 Schémas pour l’équation de la chaleur . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1 L’équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1.1 Schéma explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.1.2 Schéma implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.1.3 Schéma de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 186
8.1.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 189
8.2 Schémas discrétisant l’équation de la chaleur en 2D . .. . . . . . . . . . . 191
8.2.1 Schéma explicite sur maillage régulier . . . . . . . .. . . . . . . . . . 191
9 Conclusion générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
III Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
10 Schémas d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1 Schémas de Strang . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1.1 Génération des schémas de Strang pour l’équation d’advection à vitesse a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.1.2 Analyse des schémas de Strang . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 199
10.2 Montée en ordre en espace . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
10.2.1 Montée en ordre par corrections successives : schémas centrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 203
10.2.2 Schémas sur grilles décalées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 204
10.2.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11 Quelques fonctions spéciales. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1 La fonction d’Airy et ses généralisations . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1.1 La fonction d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.1.2 Fonctions d’Airy généralisées . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 215
11.2 Fonctions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12 Développements asymptotiques d’intégrales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 223
12.1 Méthode de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.2 Méthode de la phase stationnaire . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.3 Méthode du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Table des figures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
