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Mathématiques supérieures

Cours - Tome 2

by Alexander Gewirtz (author)
march 2023
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Presentation

Ce livre est inspiré des cours de mathématiques proposés à l’institut franco-chinois de l’énergie nucléaire (IFCEN), situé à Zhuhai dans la province du Guangdong en Chine. L’objectif de ce second tome est de consolider et d’approfondir les connaissances fondamentales en algèbre linéaire (théorie de la dimension et des matrices) et multilinéaire (déterminants et produits scalaires), en analyse (dérivation et développements limités, intégration, fonctions convexes, séries réelles). Il a aussi pour but d’initier le lecteur à la théorie « abstraite » des probabilités (discrètes ici) et de le sensibiliser aux problèmes de permutation de limite (abordé ici dans le cadre des séries « doubles »). La volonté de ne pas séparer algèbre et analyse en deux tomes différents s’inscrit dans une démarche pédagogique visant à briser l’idée que ces domaines sont disjoints et comprendre que des techniques « algébriques » peuvent s’appliquer pour des questions d’analyse et réciproquement.Ce livre a été rédigé comme support de cours pour les étudiants de l’IFCEN mais aussi comme outil de travail pour des élèves de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il pourra d’ailleurs également intéresser les candidats aux concours de recrutement des enseignants. Ainsi, les prérequis pour chaque chapitre sont explicitement donnés, les preuves des propriétés sont complètes et très détaillées, de nombreux exemples et exercices d’applications directes sont donnés et enfin, de nombreux points méthodes sont indiqués. En complément, une large sélection d’exercices (de difficulté variable) est proposée à la fin de chaque chapitre, permettant ainsi de « pratiquer » ce qui a été appris et proposant parfois une ouverture sur des sujets plus avancés. Enfin, certains chapitres proposent également une annexe avec des compléments pour les étudiants désireux d’approfondir leurs connaissances en mathématiques.

Resume

Chapitre 1 Dérivation et développements limités 8

1.1 Nombre dérivé en un point . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.2 Interprétations graphique et cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.3 Développement limité dordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Fonction dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Dérivée dune bijection réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21

1.2.4 Dérivées successives et formule de Leibniz . . . .. . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 ´Etude globale des fonctions d´dérivables à valeurs réelles . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Caractérisation des extrema locaux . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 28

1.3.2 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.3 Égalité et inégalité desaccroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.4 Application auxvariations dune fonction . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39

1.3.5 Applications auxsuites récurrentes de la forme un+1 = f(un) . . . . . . . 42

1.3.6 Théorème de prolongement . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 43

1.4 Définition et propriétés des développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.5 Opérations sur les développementslimités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5.1 Somme et produit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.5.2 Inverse . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5.3 Intégration et dérivation dun DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.6 Formules de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.6.1 Formule deTaylor avec reste intégral et inégalité de Taylor-Lagrange . . . 55

1.6.2 Formule deTaylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.6.3 Formule (ou égalité) deTaylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.6.4 Application auxfonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

1.7 Applications des développements limités .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.7.1 ´Etude des limites ou recherche déquivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.7.2 ´Etude de position dunecourbe par rapport à sa tangente . . . . . . . . . 65

1.7.3 Développement asymptotique et ´étude de position par rapport `a une

asymptote . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

1.7.4 Recherche dextremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66

1.7.5 Nature dun point stationnaire dune courbe paramétrée . . . . . . . . . . 67

1.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Table des matières

Chapitre 2 Espaces vectoriels de dimension finie77

2.1 Familles devecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.1 Famille libre .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.1.2 Famille génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 86

2.1.3 Base dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 88

2.1.4 Caractérisation dune application linéaires par limage dune base . . . . . 92

2.2 Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 96

2.2.1 D´définition et exemples . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.2.2 Théorèmes de la dimension et de la base incomplète . . . . . . . . . . . . 96

2.2.3 Dimension dun espace vectoriel et caractérisationdes bases . . . . . . . . 101

2.3 Propriétés de la dimension . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

2.3.1 Dimensions dun produit cartésien et dune somme directe . . . . . . . . . 107

2.3.2 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109

2.3.3 Dimension dune somme de deux espaces . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111

2.3.4 Caractérisation des sommes directes et des sous-espaces supplémentaires

par les bases . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

2.3.5 Rang dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 115

2.4 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.4.1 Définition du rang duneapplication linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

2.4.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 119

2.4.3 Caractérisation des isomorphismes et des ´éléments inversibles de L(E) .. 122

2.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

2.6 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

2.6.1 Démonstration du théorème fondamental de la théorie de la dimension . . 129

Chapitre 3 Matrices 131

3.1 Définition dune matrice . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.2 opérations sur les matrices . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.2.1 Structure despace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 133

3.2.2 Base canoniquede Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

3.2.3 Produitmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.2.4 Transposition .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

3.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 140

3.3.1 Algèbre Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 140

3.3.2 Matrices carrées inversibles et groupe GLn(K) .. . . . . . . . . . . . . . 142

3.3.3 Sous-ensemblesremarquables de Mn(K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.3.a Matricesdiagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

3.3.3.b Matricestriangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

3.3.3.c Matrices symétriques et antisymétriques. . . . . . . . . . . . . . 150

3.4 Matrices etapplications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 151

3.4.1 Définition de la matrice duneapplication linéaires relativement `a deux bases 151

3.4.2 Propriétés ´élémentaires des matrices dapplicationslinéaires . . . . . . . . 155

3.4.3 Isomorphismecanonique de L(Kp,Kn)sur Mn,p(K) .. . . . . . . . . . . 157

3.4.4 Cas des formes linéaires : ´équations cartésiennes dun hyperplan . .. . . 161

3.5 Matrice dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 162

3.5.1 Définition et isomorphisme de L(E)sur Mn(K) .. . . . . . . . . . . . . 162

3.5.2 Matrice dune famille finie de vecteurs dans une base . . . . . . . .. . . . 168

3.5.3 Matrice depassage et changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

3.6 Rang dune matrice et opérations ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 173

3.6.1 Définition du rang dunematrice et première caractérisation . . . .. . . . 173

3.6.2 opérations ´élémentaires sur les lignes (ou les colonnes) . . . .. . . . . . . 176

3.6.3 Méthode du pivot de Gauss pour déterminer le rang dunematrice (ou

linversedune matrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 182

3.7 Matrices équivalentes, matrices semblables et trace dune matrice carrée . . . . . 191

3.7.1 Matrices équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 191

3.7.2 Matrices semblables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.7.3 Trace dune matrice carrée et trace dun endomorphisme . . . . . . . . . . 193

3.8 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

Chapitre 4 Intégration des fonctions d’unevariable réelle 203

4.1 Intégration sur un segment dunefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.1.1 Fonction enescalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

4.1.2 Intégrale sur un segment dunefonction en escalier . . . . . . . . . . . . . 207

4.1.3 Propriétés de lintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 209

4.1.3.a Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 209

4.1.3.b Monotonie . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.1.3.c Relation deChasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.2 Intégrale sur un segment dunefonction continue par morceaux . . . . . . . . . . 211

4.2.1 Fonctionscontinues par morceaux et approximation uniforme par des

fonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.2.2 Définition de lintégrale dune fonctioncontinue par morceaux . . . . . . . 214

4.2.3 Extension auxfonctions `a valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.2.4 Linéarité ,monotonie et relation de Chasles . . . . .. . . . . . . . . . . . 216

4.2.5 Valeur moyenneet inégalité de la moyenne .. . . . . . . . . . . . . . . . 222

4.2.6 Cas desfonctions continues : produit scalaire usuel sur C0([a,b] ,R) et

inégalité deCauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

4.3 Approximation de lintégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 227

4.3.1 Sommes deRiemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.3.2 Méthode des rectangles pour approcher une intégrale . . . . . . . . . . . . 231

4.3.3 Méthodes des trapèzes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.4 Intégration et dérivation . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

4.4.1 Primitive dune fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238

4.4.2 Fonctioncontinue par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 239

4.4.3 Intégrale de la borne supérieureet théorème fondamental . . . . . . . . . 240

4.5 Calcul dintégrales et de primitives . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.5.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 243

4.5.2 Changement devariable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

4.5.3 Cas desfonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

4.5.4 Fonctionsrationnelles en sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

4.5.5 Autres exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

4.6 Intégrale généralisée sur unintervalle quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

4.6.1 Définition de la convergence duneintégrale généralisée . . . . . . .. . . 255

4.6.2 Propriétés ´élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 260

4.6.3 Cas particulierdes fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.6.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 264

4.6.5 Critères de convergence pour les fonctions positives . .. . . . . . . . . . . 267

4.6.6 Parties réelles et imaginaires, absolue convergence et lienavec la convergence270

4.6.7 Bilan sur les méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 273

4.6.8 Extension auxfonctions continues sur un intervalle sauf en un nombre

fini de points . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

4.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

4.8 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

4.8.1 Démonstration du théorème dapproximation . . . .. . . . . . . . . . . . 290

4.8.2 Compléments sur les sommes de Riemann . . . . . . . . . .. . . . . . . . 292

Chapitre 5 Séries numériques 294

5.1 Généralités sur les séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 295

5.1.1 Définitions et vocabulaire des séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.1.2 Convergence,divergence, divergence grossière et convergence absolue . . . 296

5.1.3 Opérations sur les sériesconvergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5.2 Séries à termes positifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.2.1 Convergence,divergence et comparaison des termes généraux . . . . . . . 300

5.2.2 Comparaison série-intégrale . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

5.2.3 Séries positives de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 312

5.2.4 Critère de dAlembert . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

5.3 Séries réelles . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

5.3.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 317

5.3.2 Critère spécial pour les séries alternées . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 318

5.3.3 Séries et sommes réelles de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 322

5.3.4 Bilan des méthodes détude des séries réelles . . . . . . . . . . . . . . . . 325

5.4 Séries complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

5.4.1 Séries absolument convergentes et semi-convergentes .. . . . . . . . . . . 329

5.4.2 Séries complexes de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 330

5.5 Familles sommableset théorèmes de Fubini . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 331

5.5.1 Notion de dénombrabilité . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

5.5.2 Famillessommables de nombres réels positifs . . . . . . . . . . . . . . . .337

5.5.3 Séries doubles `a termes positifs . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 341

5.5.4 Famillessommables de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

5.5.5 Séries doubles complexes . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 351

5.6 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

5.7 Annexe . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

5.7.1 Transformation dAbel et critère pour les sériestrigonométriques . . . . . 366

5.7.2 Théorème dassociativité pour les familles sommables . . . . . . . . . . .371

Chapitre 6 Probabilités discrètes 375

6.1 Notion de tribu etdéfinition dune probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376

6.2 Mesure de probabilité conditionnelle et formule des probabilités totales . . . . . . 383

6.3 Variable aléatoire réelle et loi de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

6.4 Indépendance dévènements ou de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 388

6.5 Définition dune probabilité discrète . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

6.6 Variables aléatoires discrètes . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

6.7 Espérance, variance et moments . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 396

6.8 Inégalités de Markov etde Bienaymé-Tchebychev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

6.9 Sommes devariables aléatoires discrètes usuelles et indépendantes . . . . . . . . 405

6.10 Calculs despérance ou de variance pour des variables aléatoires indépendantes . 407

6.11 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

Chapitre 7 Fonctions convexes 413

7.1 Fonctions convexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.1.1 D´définition et interprétation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 414

7.1.2 Caractérisation de la convexité par la pente des cordes . . . . . . . . . . . 416

7.1.3 Caractérisation de la convexité lorsque f est d´erivable . . . .. . . . . . . 418

7.1.4 Régularité des fonctionsconvexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

7.2 Inégalités de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 421

7.2.1 Inégalité généralisée de convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

7.2.2 Moyennes arithmétique, géométrique et harmonique . . . . . . . . . . . . 423

7.3 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

Chapitre 8 Déterminants et systèmes linéaires 425

8.1 Définition du déterminant . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426

8.1.1 Formes n-linéaires, formes alternéeset antisymétriques . . . . . . . . . . . 426

8.1.2 Caractérisation des formes n-linéaires alternées et dimensionde lespace

Λn(E) .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

8.1.3 Définition du déterminant dansune base B et propriétés élémentaires . . 431

8.1.4 Caractérisation des bases de E parle d´déterminant . . . . . . . . . . . . . 432

8.2 Déterminant dunendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

8.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 433

8.2.2 Propriétés du déterminant et caractérisation des isomorphismes . . . . . . 435

8.3 Déterminant dune matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 436

8.3.1 Définition et propriétés « simples » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436

8.3.2 Développement par rapport à une ligne ou une colonne . . . . . . . . . . 439

8.3.3 opérations ´élémentaires sur les lignes ou colonnes . . . . . . .. . . . . . 440

8.3.4 Cas particulier: cas des matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . 441

8.3.5 Lien avec le déterminant de lapplication linéaires associée et conséquences 442

8.4 Systèmes d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 444

8.4.1 Définitions et structure des solutions . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 444

8.4.2 Rang dun système linéaires etdimension de lespace homogène associé . . 445

8.4.3 Cas des systèmes de Cramer et formules de Cramer . . . . . . . .. . . . 445

8.4.4 Méthode du pivot de Gauss pour résoudre un système . . . . . . .. . . . 449

8.5 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

Chapitre 9 Espaces euclidiens 456

9.1 Produit scalaire .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

9.1.1 Définition dun produitscalaire et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

9.1.2 Inégalité deCauchy-Schwarz, norme euclidienne et distance associée . . . 461

9.1.3 Propriétés remarquables . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 463

9.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 464

9.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 464

9.2.2 Propriétés des familles orthogonales . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 467

9.3 Espaces euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

9.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 469

9.3.2 Orthogonal dune partie et existence de bases orthonormées . . . . . . . . 469

9.3.3 Projecteursorthogonaux et symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . .473

9.3.4 Procède dorthonormalisassionsde Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477

9.3.5 Isomorphismenaturel entre E et son dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480

9.4 Automorphismesorthogonaux dun espace euclidien . . . . . . . . . . .. . . . . 481

9.4.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 481

9.4.2 Caractérisations des automorphismes orthogonaux . . . . .. . . . . . . . 483

9.4.3 Matricesorthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

9.5 Automorphismesorthogonaux du plan et étude des groupes O2(R) etSO2(R) .. 491

9.5.1 ´Etude des groupes O2(R) et SO2(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491

9.5.2 Rotations duplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493

9.5.3 Réflexions et décomposition dune rotation en produit de deux réflexions . 494

9.6 Automorphismesorthogonaux de lespace et étude du groupe O3(R) . . . . . . . 497

9.6.1 Etude théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 497

9.6.2 Etude pratique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504

9.7 Exercices . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

Compléments

Characteristics

Language(s): French

Audience(s): Students

Publisher: EDP Sciences

Collection: Enseignement SUP-Maths

Published: 23 march 2023

Reference Paper book: L27893

Reference eBook [PDF]: L27909

EAN13 Paper book: 9782759827893

EAN13 eBook [PDF]: 9782759827909

Interior: Black & white

Format (in mm) Paper book: 16 x 24

Pages count Paper book: 510

Pages count eBook [PDF]: 510

Size: 9,7 Mo (PDF)

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