Préface v
Notations principales vii
1 Diagonalisation des opérateurs compacts auto-adjoints 1
1.1 Analyse spectrale des opérateurs compacts ............ 1
1.2 Diagonalisation des opérateurs auto-adjoints compacts..... 8
1.3 Diagonalisation d’opérateurs provenant de formeshermitiennes 9
1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14
2 Généralités sur les distributions 19
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 20
2.2 Convolution de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 24
2.3 Partition de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 27
2.4 Ordre d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29
2.5 Localisation et recollement . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 31
2.6 Support singulier d’une distribution . . . . . . . . . .. . . . . 33
2.7 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . .. . . . . 33
2.8 Multiplication par une fonction . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35
2.9 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 36
2.10 Convolution d’une distribution et d’une fonction . . .. . . . . 37
2.11 Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 38
2.12 Convolution de distributions . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 40
2.13 Distributions dans les espaces produits . . . . . . . .. . . . . . 43
2.14 Théorème des noyaux de Schwartz . . . . . . . . . . . .. . . . 45
2.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 48
3 Espaces de Sobolev Wk,p 57
3.1 Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57
3.2 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . .. . . . . . 60
3.3 Opérateurs de prolongements et de traces . . . . . . . .. . . . 66
3.4 Théorèmes d’injections . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 82
ii Analyse fonctionnelle appliquée
4 Solutions faibles d’équations elliptiques 95
4.1 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 96
4.2 Problème de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 97
4.3 Diagonalisation d’un opérateur elliptique . . . . . . .. . . . . . 99
4.4 Régularité H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 100
4.5 Problème de Dirichlet semi-linéaire . . . . . . . . . .. . . . . . 103
4.6 Inégalités de Harnak . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 116
5 Unique continuation et problème de Cauchy 121
5.1 Propriétés des fonctions harmoniques . . . . . . . . . .. . . . . 121
5.2 Unique continuation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 129
5.3 Inégalités de Caccioppoli et d’interpolation . . . . . .. . . . . 134
5.4 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 140
5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 149
6 L’approche de Schauder pour les équations elliptiques 161
6.1 Espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 161
6.2 Semi-normes équivalentes sur les espaces de Hölder . . .. . . . 167
6.3 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 170
6.4 Quelques estimations pour les fonctions harmoniques . .. . . . 177
6.5 Estimations de Schauder intérieures . . . . . . . . . .. . . . . 182
6.6 Problème de Dirichlet dans une boule . . . . . . . . . .. . . . 187
6.7 Problème de Dirichlet dans un domaine borné . . . . . .. . . . 190
6.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 192
7 Construction d’une solution fondamentale 215
7.1 Fonctions définies par des intégrales singulières . . .. . . . . . 215
7.2 Opérateurs intégraux faiblement singuliers . . . . . . .. . . . . 223
7.3 Paramétrix canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 229
7.4 Solution fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 236
8 Transformée de Fourier et espaces de Sobolev Hs 245
8.1 Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 245
8.2 Espaces de Sobolev Hs . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 253
8.2.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 253
8.2.2 Définition équivalente . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 254
8.2.3 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 257
8.2.4 Multiplicateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 259
8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 261
9 Opérateurs pseudo-différentiels 271
9.1 Les symboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 272
9.2 Les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 278
9.3 Intégrales oscillantes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 280
9.4 Calcul symbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 283
9.5 Action sur les espaces de Sobolev . . . . . . . . . . .. . . . . . 287
9.6 Inégalité de Gårding . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 289
9.7 Les symboles elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 291
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 292
Bibliographie 309
Index 313
