Variétés différentielles, physique et invariants topologiques

Introduction 71 Variétés topologiques 131.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Groupe fondamental 392.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . 452.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . . . 502.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . 542.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . . . 562.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 Catégories et foncteurs 613.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . . . . 663.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . . . . . 693.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . . . . 713.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . . . . . 793.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814 Variétés différentiables 854.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . . . 854.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . . . . . 924.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . 1014.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1034.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1065 Espaces fibrés 1095.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . . . 1165.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . . . . 1165.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . . . . 1185.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1215.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1245.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1285.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1295.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306 Algèbre tensorielle et extérieure 1356.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . 1356.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . . . . 1376.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1416.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1426.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . 1466.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1476.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . . . . 1506.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1527 Formes différentielles 1577.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1577.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . 1607.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1617.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . 1647.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . . . 1667.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718 Géométrie riemannienne 1758.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1758.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1868.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1888.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1938.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1948.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1988.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2079 Algèbre homologique 2119.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2119.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2169.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2319.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2349.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810 Variétés complexes 24710.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24710.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . . . . 25110.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25510.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26310.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26811 Connexions sur les fibrés 27111.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27111.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27311.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27411.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27611.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27711.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28011.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28312 Théorie de l’indice 28712.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28712.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29012.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30112.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30312.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31113 Systèmes hamiltoniens 31513.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31513.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32013.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32313.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 32813.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . 33313.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33613.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34113.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34313.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34514 Relativité générale 34914.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35014.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 35114.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . . . 35514.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . 35614.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35714.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35914.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361Bibliographie 365

Language(s): French

Audience(s): Professionals, Research, Students

Publisher: EDP Sciences

Collection: PROfil

Published: 8 june 2023

Reference Paper book: L31425

Reference eBook [PDF]: L31432

EAN13 Paper book: 9782759831425

EAN13 eBook [PDF]: 9782759831432

Interior: Black & white

Format (in mm) Paper book: 16 x 24

Pages count Paper book: 372

Pages count eBook [PDF]: 372

Onix format

Size: 3.06 MB (PDF)