Introduction 7
1 Variétés topologiques 13
1.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 13
1.2 Compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 15
1.3 Connexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 16
1.4 Espaces quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 17
1.5 Groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 21
1.6 Exemples de variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 23
1.7 Classification des variétés . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31
1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 33
2 Groupe fondamental 39
2.1 Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 39
2.2 Groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41
2.3 Groupes libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 43
2.4 Calcul du groupe fondamental . . . . . . . . . . . . . .. 45
2.5 Groupe fondamental des groupes classiques . . . . . . .. 50
2.6 Groupe fondamental d’un polyèdre . . . . . . . . . . . .54
2.7 Groupes d’homotopie supérieure . . . . . . . . . . . . .. 56
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 58
3 Catégories et foncteurs 61
3.1 Catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 61
3.2 Foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 63
3.3 Objets et problèmes universels . . . . . . . . . . . . .. . 66
3.4 Mono et épimorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67
3.5 Limites projectives (Limites) . . . . . . . . . . . . .. . . 69
3.6 Limites inductives (Colimites) . . . . . . . . . . . . .. . 71
3.7 Foncteurs adjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 72
3.8 Foncteurs représentables . . . . . . . . . . . . . . . .. . 73
3.9 Lemme de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 74
3.10 Monades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 75
3.11 Catégories abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 78
3.12 Foncteurs dérivés (Ext et Tor) . . . . . . . . . . . .. . . 79
3.13 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 81
4 Variétés différentiables 85
4.1 Calcul différentiel dans les espaces de Banach . . . . .. 85
4.2 Variétés différentiables . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 90
4.3 Applications différentiables entre variétés . . . . . .. . . 92
4.4 Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 93
4.5 Théorie de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 95
4.6 Fibrés tangents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 96
4.7 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 97
4.8 Dérivée de Lie d’un champ de vecteurs . . . . . . . . .. 101
4.9 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 103
4.10 Degré d’une application . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 105
4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 106
5 Espaces fibrés 109
5.1 Fibrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 109
5.2 Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 113
5.3 Automorphismes de revêtements . . . . . . . . . . . . .. 116
5.4 Relèvements d’applications . . . . . . . . . . . . . . .. . 116
5.5 Revêtements galoisiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 117
5.6 Classification des revêtements . . . . . . . . . . . . .. . 118
5.7 Suites exactes de groupes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121
5.8 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 124
5.9 Fibrés en droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 128
5.10 Fibré de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 129
5.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 130
6 Algèbre tensorielle et extérieure 135
6.1 Produit tensoriel d’espaces vectoriels . . . . . . . . .. . 135
6.2 Produit tensoriel d’applications linéaires . . . . . . .. . 137
6.3 Tenseurs sur les variétés . . . . . . . . . . . . . . .. . . 140
6.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 141
6.5 Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142
6.6 Produit contracté . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 144
6.7 Tenseurs symétriques et antisymétriques . . . . . . . .. 146
6.8 Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 147
6.9 Produit mixte et produit vectoriel . . . . . . . . . . .. . 150
6.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152
7 Formes différentielles 157
7.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 157
7.2 Algèbre des formes différentielles . . . . . . . . . . .. . . 160
7.3 Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 161
7.4 Différentiation extérieure . . . . . . . . . . . . . . .. . . 162
7.5 Produit intérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 163
7.6 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . .. . . 164
7.7 Formes exactes, formes fermées . . . . . . . . . . . . .. 166
7.8 Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 168
7.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 171
8 Géométrie riemannienne 175
8.1 Variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 175
8.2 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 180
8.3 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 185
8.4 Bases holonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 186
8.5 Connexion de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . .. . 188
8.6 Géodésiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 193
8.7 Tenseur de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 194
8.8 Opérateurs de Hodge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 198
8.9 Invariance de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 203
8.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 207
9 Algèbre homologique 211
9.1 Complexes de chaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 211
9.2 Homologie simpliciale . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 216
9.3 Homologie singulière . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 221
9.4 Homologie cellulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 227
9.5 Homologie à coefficients . . . . . . . . . . . . . . . .. . 229
9.6 Cohomologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 231
9.7 Faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 234
9.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 238
10 Variétés complexes 247
10.1 Structures complexes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 247
10.2 Cohomologie de Dolbeault . . . . . . . . . . . . . . .. . 251
10.3 Variétés hermitiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 252
10.4 Variétés kählériennes . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 255
10.5 Surfaces de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 263
10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 268
11 Connexions sur les fibrés 271
11.1 Fibré principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 271
11.2 Fibré des repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 273
11.3 Connexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 274
11.4 Transport parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 276
11.5 Courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 277
11.6 Formalisme des tétrades . . . . . . . . . . . . . . . .. . 280
11.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 283
12 Théorie de l’indice 287
12.1 Opérateurs elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 287
12.2 Classes caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 290
12.3 Variétés spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 301
12.4 Théorèmes de l’indice . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 303
12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 311
13 Systèmes hamiltoniens 315
13.1 Variétés symplectiques . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 315
13.2 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 320
13.3 Systèmes lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 323
13.4 Équations de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . .. . 328
13.5 Cas des variétés riemanniennes . . . . . . . . . . . .. . . 333
13.6 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 336
13.7 Tores invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 341
13.8 Représentations de Lax . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 343
13.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 345
14 Relativité générale 349
14.1 Équations d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 350
14.2 Métrique de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . .. . 351
14.3 Métrique de Kerr-Newman . . . . . . . . . . . . . . . .. 355
14.4 Métrique de Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . .. . 356
14.5 Équations de Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . .. . 357
14.6 Ondes gravitationnelles . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 359
14.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 361
Bibliographie 365
