Tome I
I ONDES ET PARTICULES. INTRODUCTION AUX IDÉES FONDAMENTALES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 1
A Ondes électromagnétiques et photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
B Corpuscules matériels et ondes de matière . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
C Description quantique d’une particule. Paquets d’ondes . . . . . . . . . 14
D Particule dans un potentiel scalaire indépendant du temps . . . . . . . . 24
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 35
AI Ordre de grandeur des longueurs d’onde 37
BI Contraintes imposées par la relation de Heisenberg 41
1 Système macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Système microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
CI Relation de Heisenberg et paramètres atomiques 43
DI Une expérience illustrant la relation de Heisenberg 47
EI Paquet d’ondes à deux dimensions 51
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Dispersion angulaire et dimensions latérales . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
FI Lien entre les problèmes à une et à trois dimensions 55
1 Paquet d’ondes à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 Justification des modèles à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
GI Paquet d’ondes gaussien 59
1 Définition d’un paquet d’ondes gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2 Calcul de Δx et Δp ; relation de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Evolution du paquet d’ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
HI Potentiels carrés à une dimension 65
1 Comportement d’une fonction d’onde stationnaire ϕ(x) . . . . . . . . . 65
2 Étude de certains cas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
JI Paquet d’ondes dans une marche de potentiel 77
1 Réflexion totale : E < V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2 Réflexion partielle : E > V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
KI Exercices 85
II LES OUTILS MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE...89
A Espace des fonctions d’onde d’une particule . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B Espace des états. Notations de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
C Représentations dans l’espace des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
D Equation aux valeurs propres. Observables . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
E Deux exemples importants de représentations et d’observables . . . . . . 141
F Produit tensoriel d’espaces d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 161
AII Inégalité de Schwarz 163
BII Rappel de quelques propriétés utiles des opérateurs linéaires 165
1 Trace d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2 Algèbre des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
3 Restriction d’un opérateur à un sous-espace . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4 Fonctions d’opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5 Dérivation d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
CII Opérateurs unitaires 175
1 Propriétés générales des opérateurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . 175
2 Transformation unitaire sur les opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3 Opérateur unitaire infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
DII Etude plus détaillée des représentations {|ri} et {|pi} 183
1 Représentation {|ri} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
2 Représentation {|pi} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
EII Quelques propriétés générales de deux observables Q et P dont le commutateur est égal à i~ 189
1 Opérateur S(λ) : définition, propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
2 Valeurs propres et vecteurs propres de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3 Représentation {|qi} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4 Représentation {|pi}. Symétrie entre les observables P et Q . . . . . . . 192
FII Opérateur parité 195
1 Etude de l’opérateur parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2 Opérateurs pairs et impairs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
3 Etats propres d’une observable B+ paire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
4 Application à un cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
GII Application des propriétés du produit tensoriel ; puits infini à deux dimensions 203
1 Définition ; états propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2 Etude des niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
HII Exercices 207
III LES POSTULATS DE LA MÉCANIQUE QUANTIQUE 215
A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
B Enoncé des postulats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
C Interprétation physique des postulats sur les observables et leur mesure 229
D Contenu physique de l’équation de Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . 239
E Principe de superposition et prévisions physiques . . . . . . . . . . . . . 256
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 271
AIII Particule dans un puits de potentiel infini : étude physique 275
1 Répartition des valeurs de l’impulsion dans un état stationnaire . . . . . 275
2 Evolution de la fonction d’onde de la particule . . . . . . . . . . . . . . 279
3 Perturbation apportée par une mesure de la position . . . . . . . . . . . 283
BIII Etude du courant de probabilité dans quelques cas particuliers 287
1 Expression du courant dans des régions où le potentiel est constant . . . 287
2 Application aux problèmes de marches de potentiel . . . . . . . . . . . . 288
3 Courant de probabilité des ondes incidente et évanescente, dans le cas
d’une réflexion sur une marche de potentiel à deux dimensions . . . 289
CIII Ecarts quadratiques moyens de deux observables conjuguées 293
1 Relation de Heisenberg pour P et Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
2 Paquet d’ondes “minimum” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
DIII Mesures portant sur une partie d’un système physique 297
1 Calcul des prévisions physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
2 Signification physique d’un état produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . 299
3 Signification physique d’un état qui n’est pas un produit tensoriel . . . . 300
EIII L’opérateur densité 303
1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
2 Notion de mélange statistique d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3 Cas pur. Introduction de l’opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4 Mélange statistique d’états (cas non pur) . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5 Exemples d’utilisation de l’opérateur densité . . . . . . . . . . . . . . . 312
FIII Opérateur d’évolution 317
1 Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
2 Cas des systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
GIII Points de vue de Schrödinger et de Heisenberg 321
HIII Invariance de jauge 325
1 Position du problème : potentiels scalaire et vecteur associés à un champ
électromagnétique ; notion de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
2 Invariance de jauge en mécanique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 326
3 Invariance de jauge en mécanique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 331
JIII Propagateur de l’équation de Schrödinger 339
1 Introduction. Idée physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
2 Existence et propriétés d’un propagateur K(2, 1) . . . . . . . . . . . . . 340
3 Formulation lagrangienne de la mécanique quantique . . . . . . . . . . . 343
KIII Niveaux instables. Durée de vie 347
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
2 Définition de la durée de vie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
3 Description phénoménologique de l’instabilité d’un niveau . . . . . . . . 349
LIII Exercices 351
MIII Etats liés dans un “puits de potentiel” de forme quelconque 363
1 Quantification de l’énergie des états liés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
2 Valeur minimale de l’énergie du niveau fondamental . . . . . . . . . . . 367
NIII Etats non liés d’une particule en présence d’un puits ou d’une
barrière de potentiel de forme quelconque 371
1 Matrice de transmission M(k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
2 Coefficients de transmission et de réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
OIII Propriétés quantiques d’une particule dans une structure périodique à une dimension 379
1 Traversée successive de plusieurs barrières de potentiel identiques . . . . 380
2 Discussion physique : notion de bande d’énergie permise ou interdite . . 386
3 Quantification des niveaux d’énergie dans un potentiel de structure périodique ; effet des conditions aux limites . . . 388
IV APPLICATION DES POSTULATS À DES CAS SIMPLES :
SPIN 1/2 ET SYSTÈMES À DEUX NIVEAUX 397
A Particule de spin 1/2 : quantification du moment cinétique . . . . . . . 398
B Illustration des postulats sur le cas d’un spin 1/2 . . . . . . . . . . . . . 405
C Etude générale des systèmes à deux niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . 416
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 427
AIV Les matrices de Pauli 429
1 Définition ; valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . 429
2 Propriétés simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
3 Une base commode de l’espace des matrices 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . 431
BIV Diagonalisation d’une matrice hermitique 2 × 2 433
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
2 Changement d’origine pour le repérage des valeurs propres . . . . . . . 433
3 Calcul des valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . 435
CIV Spin fictif 1/2 associé à un système à deux niveaux 439
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
2 Interprétation de l’hamiltonien en termes de spin fictif . . . . . . . . . . 439
3 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
DIV Système de deux spins 1/2 445
1 Description quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
2 Prédiction des résultats de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
EIV Matrice densité d’un spin 1/2 453
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
2 Matrice densité d’un spin parfaitement polarisé (cas pur) . . . . . . . . 453
3 Exemple de mélange statistique : spin non polarisé . . . . . . . . . . . . 454
4 Spin 1/2 à l’équilibre thermodynamique dans un champ statique . . . . 456
5 Décomposition de la matrice densité sur les matrices de Pauli . . . . . . 457
FIV Résonance magnétique 459
1 Traitement classique ; référentiel tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
2 Traitement quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
3 Lien entre le traitement classique et le traitement quantique : évolution de hMi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
4 Equations de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
GIV Modèle simple pour la molécule d’ammoniac 473
1 Description du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
2 Fonctions propres et valeurs propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . 475
3 La molécule d’ammoniac considérée comme un système à deux niveaux 482
HIV Effets d’un couplage entre un état stable et un état instable 489
1 Introduction. Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
2 Influence d’un couplage faible sur des niveaux d’énergies différentes . . . 490
3 Influence d’un couplage quelconque sur des niveaux de même énergie . . 491
JIV Exercices 495
V L’OSCILLATEUR HARMONIQUE À UNE DIMENSION 501
A Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
B Valeurs propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
C Etats propres de l’hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514
D Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 529
AV Etude de quelques exemples physiques d’oscillateurs harmoniques531
1 Vibration des noyaux d’une molécule diatomique . . . . . . . . . . . . . 531
2 Vibration des noyaux dans un cristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
3 Oscillations de torsion d’une molécule : exemple de l’éthylène . . . . . . 540
4 Atomes muoniques lourds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
BV Etude des états stationnaires en représentation {|xi}. Polynômes d’Hermite 551
1 Les polynômes d’Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
2 Les fonctions propres de l’hamiltonien de l’oscillateur harmonique . . . 554
CV Résolution de l’équation aux valeurs propres de l’oscillateur
harmonique par la méthode polynomiale 559
1 Changement de fonction et de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559
2 Méthode polynomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
DV Etude des états stationnaires en représentation {|pi} 567
1 Fonctions d’onde dans l’espace des impulsions . . . . . . . . . . . . . . . 567
2 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 570
EV L’oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions 573
1 L’opérateur hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
2 Séparation des variables en coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . 574
3 Dégénérescence des niveaux d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576
FV Oscillateur harmonique chargé placé dans un champ électrique uniforme 579
1 Equation aux valeurs propres de H′(E ) en représentation {|xi} . . . . . 580
2 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581
3 Utilisation de l’opérateur translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
GV Etats cohérents “quasi classiques” de l’oscillateur harmonique 587
1 Recherche des états quasi classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588
2 Propriétés des états |αi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
3 Evolution d’un état quasi classique au cours du temps . . . . . . . . . . 599
4 Exemple d’application : étude quantique d’un oscillateur macroscopique 601
HV Modes propres de vibration de deux oscillateurs harmoniques couplés 603
1 Vibrations des deux particules en mécanique classique . . . . . . . . . . 603
2 Etats de vibration du système en mécanique quantique . . . . . . . . . . 609
JV Modes de vibration d’une chaîne linéaire indéfinie d’oscillateurs harmoniques couplés ; phonons 615
1 Etude classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
2 Etude quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
3 Application à l’étude des vibrations dans un cristal : les phonons . . . . 630
KV Modes de vibration d’un système physique continu. Application au rayonnement ; photons 635
1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635
2 Modes de vibration d’un système mécanique continu : exemple de la corde vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
3 Modes de vibration du rayonnement : les photons . . . . . . . . . . . . . 643
LV Oscillateur harmonique à une dimension en équilibre thermodynamique à la température T 651
1 Energie moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652
2 Discussion physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654
3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
4 Distribution de probabilité de l’observable X . . . . . . . . . . . . . . . 659
MV Exercices 667
VI MOMENTS CINÉTIQUES EN MÉCANIQUE QUANTIQUE 673
A Introduction : importance du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . 673
B Relations de commutation caractéristiques des moments cinétiques . . . 675
C Théorie générale du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 678
D Application au moment cinétique orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 709
AVI Les harmoniques sphériques 711
1 Calcul des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711
2 Propriétés des harmoniques sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716
BVI Moment cinétique et rotations 723
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
2 Etude succincte des rotations géométriques R . . . . . . . . . . . . . . . 724
3 Opérateurs de rotation dans l’espace des états.
Exemple d’une particule sans spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
4 Opérateurs de rotation dans l’espace des états d’un système quelconque 733
5 Rotation des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
6 L’invariance par rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
CVI Rotation des molécules diatomiques 745
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745
2 Rotateur rigide. Etude classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
3 Quantification du rotateur rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747
4 Manifestations expérimentales de la rotation des molécules . . . . . . . 752
DVI Moment cinétique des états stationnaires d’un oscillateur harmonique à deux dimensions 761
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 761
2 Classification des états stationnaires au moyen des nombres quantiques nx et ny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
3 Classification des états stationnaires en fonction de leur moment cinétique767
4 Etats quasi classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
EVI Particule chargée dans un champ magnétique. Niveaux de Landau...777
1 Rappels classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777
2 Propriétés quantiques générales d’une particule dans un champ magnétique782
3 Cas où le champ magnétique est uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
FVI Exercices 801
VII PARTICULE DANS UN POTENTIEL CENTRAL. ATOME
D’HYDROGÈNE 809
A Etats stationnaires d’une particule dans un potentiel central . . . . . . . 810
B Mouvement du centre de masse et mouvement relatif pour un système de deux particules en interaction . . . . . 819
C L’atome d’hydrogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
GUIDE DE LECTURE DES COMPLÉMENTS 839
AVII Systèmes hydrogénoïdes 841
1 Systèmes hydrogénoïdes comprenant un électron . . . . . . . . . . . . . 842
2 Systèmes hydrogénoïdes sans électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847
BVII Exemple soluble de potentiel central : l’oscillateur harmonique isotrope à trois dimensions 851
1 Résolution de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
2 Niveaux d’énergie et fonctions d’onde stationnaires . . . . . . . . . . . . 854
CVII Courants de probabilité associés aux états stationnaires de l’atome d’hydrogène 861
1 Expression générale du courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . 861
2 Application aux états stationnaires de l’atome d’hydrogène . . . . . . . 862
DVII Atome d’hydrogène plongé dans un champ magnétique uniforme.
Paramagnétisme et diamagnétisme. Effet Zeeman 865
1 Hamiltonien du problème. Terme paramagnétique et terme diamagnétique...866
2 Effet Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872
EVII Etude de quelques orbitales atomiques. Orbitales hybrides 879
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
2 Orbitales atomiques associées à des fonctions d’onde réelles . . . . . . . 880
3 Hybridation sp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886
4 Hybridation sp2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
5 Hybridation sp3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892
FVII Niveaux de vibration-rotation des molécules diatomiques 895
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895
2 Résolution approchée de l’équation radiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 896
3 Evaluation de quelques corrections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
GVII Exercices 909
1 Particule dans un potentiel à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . . . 909
2 Oscillateur harmonique à trois dimensions dans un champ magnétique uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 909
INDEX 911
