Table des matières
1 Corrigés des exercices du Chapitre I (Complément KI). Ondes et
particules. Introduction aux idées fondamentales de la mécanique
quantique 1
1.1 Interférence et diffraction avec un jet de neutrons . . . . . . . . . . . 1
1.2 État lié d’une particule dans un « puits en fonction delta » . . . . . 4
1.3 Transmission d’une barrière de potentiel en « fonction delta » . . . . 10
1.4 État lié d’une particule dans un « potentiel en fonction delta », analyse de Fourier . . .. . . . . . . . 15
1.5 Puits composé de deux fonctions delta . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6 État lié dans un potentiel carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7 Potentiel de Lennard-Jones constant par morceaux . . . . . . . . . . 44
1.8 Potentiel à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2 Corrigés des exercices du Chapitre II (Complément HII). Les outils mathématiques de la mécanique quantique 57
2.1 Une première approche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.2 Diagonalisation, base orthonormée, relation de fermeture . . . . . . . 61
2.3 Superposition d’états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.4 Un opérateur ket-bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.5 Projecteur orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 La matrice _x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.7 La matrice _y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Hamiltonien H d’une particule dans un problème à une dimension . 74
2.9 Vers le théorème du viriel en mécanique quantique . . . . . . . . . . 77
2.10 Les opérateurs X et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.11 Un E.C.O.C. d’un système à trois états . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.12 Un E.C.O.C. de deux opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Corrigés des exercices du Chapitre III (Complément LIII). Les postulats de la mécanique quantique 89
3.1 Analyse d’une fonction d’onde à une dimension . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Probabilité et fonction d’onde à une dimension . . . . . . . . . . . . 92
3.3 Fonction d’onde définie à l’aide d’impulsions . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Étalement d’un paquet d’ondes libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.5 Particule soumise à une force constante . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.6 Fonction d’onde à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7 Fonction d’onde générique à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . 111
3.8 Courant de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.9 Description complète d’un état quantique à l’aide de la densité de probabilité et du courant de probabilité .. 118
3.10 Théorème du viriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.11 Fonction d’onde de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.12 Puits infini à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.13 Puits infini à deux dimensions (cf. Complément GII) . . . . . . . . . 133
3.14 Évolution temporelle dans un système couplé à trois niveaux . . . . 141
3.15 Point de vue d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
3.16 Corrélations entre deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.17 Introduction à la matrice densité (ou opérateur densité) . . . . . . . 164
3.18 Évolution temporelle de la matrice densité . . . . . . . . . . . . . . . 167
3.19 Matrice densité de deux particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4 Corrigés des exercices du Chapitre IV (Complément JIV).
Application des postulats à des cas simples : spin 1/2 et systèmes à deux niveaux 173
4.1 Première approche pour les états de spin et la précession quantique . . . . . .. . . . . . 173
4.2 Suite de la première approche pour un champ magnétique non stationnaire . . . . . . . .. . . . . . . . . . 179
4.3 Suite de la première approche pour un champ magnétique avec deux composantes . .. . . . . . . . . . . . . . . 183
4.4 Matrice densité et mesures du spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
4.5 Opérateur d’évolution d’un spin 1/2 (cf. Complément FIII) . . . . . 195
4.6 Étude de l’état de spin de deux particules décrites par une fonction d’onde unique . . . .. . . . . . . . . . . . . . 200
4.7 Suite de l’étude de l’état de spin à deux particules décrit par une fonction d’onde unique. . . . . . . . . . . . 205
4.8 Molécule triatomique linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.9 Molécule hexagonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
5 Corrigés des exercices du Chapitre V (Complément MV) L’oscillateur harmonique à une dimension 227
5.1 Oscillateur harmonique à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2 Oscillateur harmonique anisotrope à trois dimensions . . . . . . . . . 234
5.3 Oscillateur harmonique : deux particules, partie 1 . . . . . . . . . . . 241
5.4 Oscillateur harmonique : deux particules, partie 2 . . . . . . . . . . . 250
5.5 Oscillateur harmonique : deux particules, partie 3 . . . . . . . . . . . 260
5.6 Oscillateur harmonique chargé dans un champ électrique variable . . 265
5.7 Un opérateur de type Fourier appliqué à un oscillateur harmonique à une dimension .. . . . . . . . . . 277
5.8 L’opérateur d’évolution temporelle appliqué à un oscillateur harmonique à une dimension .. . . . . . . . 281
6 Corrigés des exercices du Chapitre VI (Complément FVI). Propriétés générales des moments cinétiques en mécanique quantique 295
6.1 Valeur moyenne d’un moment magnétique pour un état donné . . . . 295
6.2 Mesure du moment magnétique dans un espace à quatre dimensions . . . . . .. . 299
6.3 Lien entre le moment cinétique classique et l’opérateur quantique associé . . . . . .. . . . . . . . . . 305
6.4 Rotation d’une molécule polyatomique . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
6.5 Étude de la partie angulaire d’une fonction d’onde . . . . . . . . . . 322
6.6 Quadripôle électrique dans un gradient de champ électrique . . . . . 326
6.7 À propos des matrices de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.8 Rotation et moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.9 Fluctuations et mesures du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . 342
6.10 Relations de type Heisenberg pour les moments cinétiques . . . . . . 352
6.11 État minimisant les fluctuations du moment cinétique . . . . . . . . 356
7 Corrigés des exercices du Chapitre VII (Complément GVII). Particule dans un potentiel central. Atome d’hydrogène 367
7.1 Particule dans un potentiel à symétrie cylindrique . . . . . . . . . . 367
7.2 Oscillateur harmonique à trois dimensions dans un champ magnétique uniforme . . .. . . . . . . . . . . . 373
