Avant-propos 3
Partie A : notes de cours 11
1 Formalisme canonique de Hamilton 13
1.1 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Théorème fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.2 Extension du théorème fondamental aux variables passives . 17
1.2 Hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Équations canoniques de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 À partir de la transformation de Legendre . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Par différentiation de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 À partir du principe variationnel . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Propriétés du hamiltonien et des équations canoniques . . . . . . . 23
1.5 Équations de Hamilton dans les différents systèmes de coordonnées . . . 25
1.5.1 En coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.2 En coordonnées polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.3 En coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5.4 En coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.6 Espace des phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.7 Principe variationnel de Hamilton modifié . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2 Transformations canoniques …53
2.1 Équations de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2 Transformation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3 Transformation canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Fonction génératrice de type 1 : F1 (qi,Qi, t) . . . . . . . . . 60
2.4.2 Fonction génératrice de type 2 : F2 (qi, Pi, t) . . . . . . . . . 61
2.4.3 Fonction génératrice de type 3 : F3 (pi,Qi, t) . . . . . . . . . 63
2.4.4 Fonction génératrice de type 4 : F4 (pi, Pi, t) . . . . . . . . . 66
2.5 Conditions de canonicité d’une transformation . . . . . . . . . . . . 69
2.5.1 Condition de la différentielle totale exacte . . . . . . . . . . 69
2.5.2 Condition de l’invariant bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.3 Condition de l’invariance des crochets de Poisson . . . . . . 76
2.6 Crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.2 Propriétés des crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.6.3 Invariance des crochets de Poisson dans une transformation canonique . . . . . .. . . 81
2.7 Équations canoniques en fonction des crochets de Poisson . . . . . . 89
2.8 Identité de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.9 Théorème de Jacobi-Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3 Formalisme de Hamilton-Jacobi 105
3.1 Équation de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.1 Sens physique de la fonction F2 (qi, Pi, t) . . . . . . . . . . . 108
3.1.2 Cas d’un hamiltonien stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.3 Sens physique de la fonction caractéristique . . . . . . . . . 116
3.1.4 Méthode de séparation des variables . . . . . . . . . . . . . 117
3.2 Variables angle-action . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3 Systèmes intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Partie B : problèmes résolus 153
Recueil 1 : formalisme de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Problème 1 : chute d’une barre dans le champ de pesanteur . . . . . . . 155
Problème 2 : mécanisme formé d’une barre et deux charnières . . . . . . 161
Problème 3 : anneau coulissant sur un fil parabolique en rotation . . . . 167
Problème 4 : mouvement d’un anneau sur un cerceau en rotation . . . . 173
Problème 5 : anneau coulissant sur un cerceau tournant . . . . . . . . . 178
Problème 6 : double pendule soumis à l’action d’un ressort . . . . . . . 186
Problème 7 : système composé d’une barre et d’un ressort . . . . . . . . 193
Problème 8 : barre dont une extrémité est mobile sur un cerceau . . . . 200
Recueil 2 : transformations canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Problème 1 : méthode de la différentielle totale . . . . . . . . . . . . . 213
Problème 2 : méthode des crochets de Poisson . . . . . . . . . . . . . . 216
Problème 3 : canonicité par la méthode de la différentielle totale . . . . 220
Problème 4 : canonicité par les deux méthodes . . . . . . . . . . . . . . 222
Problème 5 : fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
Problème 6 : oscillateur anharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Problème 7 : oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Problème 8 : équations de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 230
Recueil 3 : formalisme de Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
Problème 1 : potentiel électrostatique d’une particule chargée . . . . . . 234
Problème 2 : particule en chute libre dans un champ de gravitation . . . 236
Problème 3 : projectile dans le champ gravitationnel . . . . . . . . . . . 241
Problème 4 : particule dans un champ de force centrale . . . . . . . . . 245
Problème 5 : atome d’hydrogène dans un champ électrique uniforme . . 251
Problème 6 : problème de Kepler par les variables angle-action . . . . . 257
Problème 7 : oscillations d’un disque dans un plan . . . . . . . . . . . . 264
Problème 8 : mouvement d’une particule dans un ellipsoïde de révolution 273
Annexes 281
Annexe 1 : hamiltonien en coordonnées paraboliques . . . . . . . . . . . 282
Annexe 2 : hamiltonien en coordonnées elliptiques . . . . . . . . . . . . . 286
Bibliographie 289
Index alphabétique 299
