Table des matières
Avant-propos 1
Partie A : notes de cours 7
1 Centre d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1 Système continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Système discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Propriété de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Théorèmes de Guldin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.6 Applications pédagogiques supplémentaires . . . . . . . . . . . . 23
2 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe . . . . . . . . . . . . 28
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Signification physique du moment d’inertie . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Calcul de I(S/Δ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Signification physique des produits d’inertie . . . . . . . . . . . . 31
3 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Opérateur d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Matrice d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Expression du moment d’inertie en fonction de la matrice d’inertie 37
3.4 Base principale d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4 Quadrique d’inertie-Ellipsoïde d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1 Quadrique d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Ellipsoïde d’inertie : interprétation géométrique de la matrice d’inertie . . .. . . . . . . . . . . . 53
5 Matrice d’inertie d’un système composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6 Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Partie B : problèmes corrigés 63
Planche 1 : problèmes pour comprendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Problème 1 : demi-cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Problème 2 : quart de cerceau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Problème 3 : deux barres perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Problème 4 : plaque ayant la forme d’un disque . . . . . . . . . . . . . . . 73
Problème 5 : plaque rectangulaire mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Problème 6 : plaque ayant la forme d’un demi-disque . . . . . . . . . . . 79
Problème 7 : plaque ayant la forme d’un quart de disque . . . . . . . . . 82
Problème 8 : plaque ayant la forme d’un quart d’ellipse . . . . . . . . . . 87
Planche 2 : problèmes pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Problème 1 : huitième de sphère pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Problème 2 : ellipsoïde plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Problème 3 : plaque ayant la forme d’un triangle équilatéral . . . . . . . . 97
Problème 4 : calotte sphérique creuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Problème 5 : plaque ayant la forme d’un triangle rectangle . . . . . . . . 103
Problème 6 : demi-sphère pleine (demi-boule) . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Problème 7 : calotte parabolique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Problème 8 : cône homogène plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Planche 3 : problèmes pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Problème 1 : demi-cylindre plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Problème 2 : demi-cône plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Problème 3 : système composé d’un cylindre plein et d’une demi-boule . . 127
Problème 4 : système composé d’un cône plein et d’une demi-boule . . . . 132
Problème 5 : calotte sphérique pleine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Problème 6 : système composé d’une calotte sphérique et d’un cylindre . 145
Problème 7 : tore creux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
Problème 8 : tore plein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Annexes 159
Annexe 1 : résumé de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Annexe 2 : fiches de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Annexe 3 : diagrammes synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Table des matières 5
Bibliographie 183
Index alphabétique 191
