Sommaire
Table des matières
INTRODUCTION ................... 11
BREF HISTORIQUE ............... 17
A. PRINCIPES DE BASE DE LA METHODE DE MONTE-CARLO ............. 33
1. Processus aléatoires et mesure ................................................................................... 35
1.1 Processus aléatoires ....... 35
1.2 Événements et famille d’événements ...................................................................... 36
1.3 Fonction de répartition — Densité de probabilité ................................................. 37
1.4 Espérance mathématique ....................................................................................... 40
1.5 Variance .......................... 41
2. Réalisation pratique d’un processus aléatoire ............................................................ 43
2.1 Échantillonnage d’une variable aléatoire .............................................................. 45
2.2 Calcul de l’espérance mathématique ..................................................................... 51
2.3 Convergence stochastique ...................................................................................... 52
3. Le calcul du nombre 𝜋 par l’« expérience de l’aiguille de Buffon » ‒ Principes
de la méthode de Monte-Carlo . 65
3.1 L’expérience de l’aiguille de Buffon ...................................................................... 65
3.2 Démonstration ................. 66
3.3 Analyse : principes de base de la méthode de Monte-Carlo .................................. 68
4. Calcul d’une intégrale par la méthode de Monte-Carlo ............................................. 76
5. Simulation du transport de particules par la méthode de Monte-Carlo :
démarche de présentation ........ 85
6 Simulation de la propagation de particules par la méthode de Monte-Carlo
B. ÉCHANTILLONNAGE DES EVENEMENTS DE L’HISTOIRE
D’UNE PARTICULE NEUTRE .................................................................................. 87
1. Échantillonnage des particules sources ...................................................................... 91
1.1 Échantillonnage d’une source de forme parallélépipédique, uniforme en espace,
en énergie et en angle ........... 91
1.2 Échantillonnage d’une source de forme cylindrique, polycinétique et isotrope..... 95
2. Échantillonnage du parcours d’une particule ........................................................... 100
2.1 Loi du parcours ............. 100
2.1.1 Détermination du libre parcours moyen ........................................................ 101
2.1.2 Détermination de la variance parcours ......................................................... 101
2.2 Échantillonnage du parcours de la particule ....................................................... 102
2.3 Échantillonnage du parcours de la particule dans un milieu multicouche .......... 107
2.4 Échantillonnage du parcours de la particule dans un milieu à composition
continûment variable ........... 111
3. Loi du choc à nombre de collisions fixé .................................................................... 113
3.1 Cas sans absorption ...... 113
3.2 Cas avec absorption ...... 114
4. Probabilités d’interaction — Échantillonnage des interactions ............................... 115
4.1 Échantillonnage du type de nucléides .................................................................. 115
4.2 Échantillonnage des interactions ......................................................................... 117
4.3 Échantillonnage du nombre de neutrons émis par fission .................................... 121
5. Échantillonnage des caractéristiques d’une particule après diffusion : le cas
du neutron .............................. 124
5.1 Cas d’une diffusion isotrope dans le référentiel du centre de masse ................... 124
5.2 Cas d’une diffusion anisotrope ............................................................................. 127
C. SIMULATION DU TRANSPORT DE PARTICULES
DANS DES CONFIGURATIONS SIMPLES ........................................................... 135
1. Transport monocinétique en milieu infini homogène ................................................ 137
1.1 Résolution analytique déterministe ...................................................................... 137
1.2 Résolution analytique probabiliste ....................................................................... 137
1.3 Algorithme de simulation Monte-Carlo ................................................................ 139
1.4 Notion de poids d’une particule et de simulation non analogue .......................... 146
1.5 Comparaison des variances associées à deux estimateurs du flux distincts ........ 152
Table des matières 7
2. Transport monocinétique dans une plaque 1D homogène ........................................ 154
2.1 Résolution analytique déterministe ...................................................................... 154
2.2 Traitement probabiliste . 155
2.2.1 Équation intégrale de transport ..................................................................... 155
2.2.2 Résolution analytique probabiliste ................................................................ 157
2.2.2.1 Calcul du courant sortant par une simulation analogue .......................... 160
2.2.2.2 Calcul du courant sortant par une simulation non analogue
avec capture implicite ... 164
2.2.2.3 Détermination de la densité de collision moyenne et du flux
de particules moyen dans la plaque ..................................................................... 168
3. Détermination du courant de ralentissement des neutrons dans un milieu infini
homogène ............................... 173
3.1 Loi du choc .................... 173
3.2 Échantillonnage de la léthargie ........................................................................... 174
3.3 Équation du ralentissement des neutrons ............................................................. 175
3.4 Résolution analytique déterministe ...................................................................... 177
3.5 Résolution analytique probabiliste ...................................................................... 178
4. Estimation du facteur de multiplication des neutrons ............................................... 184
4.1 En milieu homogène multiplicateur infini ............................................................ 184
4.1.1 Résolution analytique déterministe ................................................................ 184
4.1.2 Résolution analytique probabiliste ................................................................ 184
4.1.2.1 Résolution analytique probabiliste ........................................................... 184
4.1.2.2 Algorithme de simulation Monte-Carlo ................................................... 187
4.1.2.3 Détermination de la variance ................................................................... 188
4.2 En milieu homogène multiplicateur fini unidimensionnel .................................... 192
5. Accélération de la simulation du transport de particules dans une plaque 1D
homogène ............................... 204
5.1 Motivation d’une simulation non analogue ......................................................... 204
5.2 Calcul du courant de particules sortant d’une plaque homogène
unidimensionnelle .................. 206
6. Accélération de la simulation du transport de particules dans un milieu
multiplicateur de neutrons ..... 217
6.1 Jeu à variance nulle dans un milieu homogène multiplicateur infini ................... 217
6.2 Accélération de la convergence d’un calcul critique par la méthode
de Wielandt ......................... 218
8 Simulation de la propagation de particules par la méthode de Monte-Carlo
6.2.1 Principe de la méthode de Wielandt ............................................................... 219
6.2.2 Application à la détermination du facteur de multiplication des neutrons
dans une configuration comportant deux régions fissiles différentes ...................... 221
7. Transports direct et adjoint de particules neutres à deux groupes d’énergie
en milieu infini ....................... 232
7.1 Transport direct ............ 233
7.1.1 Résolution analytique déterministe ................................................................ 233
7.1.2 Résolution analytique probabiliste ................................................................. 233
7.2 Transport adjoint .......... 237
7.2.1 Résolution analytique déterministe ................................................................ 237
7.2.2 Résolution analytique probabiliste ................................................................. 238
7.3 Calcul d’un débit d’équivalent de dose induit par une source de photons
surfacique ............................ 244
7.3.1 Résolution par un calcul analytique ............................................................... 244
7.3.2 Résolution par un calcul Monte-Carlo direct ................................................ 248
7.3.3 Résolution par un calcul Monte-Carlo adjoint .............................................. 249
8. Calcul de perturbation dans la configuration d’une plaque 1D homogène .............. 253
9. Non linéarités ..................... 263
9.1 Cas d’un estimateur du facteur de multiplication effectif des neutrons ............... 263
9.2 Échantillonnage du parcours d’une particule et fonction d’importance ............. 265
9.2.1 Position du problème ..................................................................................... 265
9.2.2 Échantillonnage du parcours avec une fonction d’importance à symétrie
sphérique .......................... 266
9.3 Couplage entre transport de particules et transmutation isotopique ................... 278
9.3.1 Position du problème ..................................................................................... 278
9.3.2 Détermination de la densité de probabilité associée à la concentration
de nucléide ....................... 279
9.3.3 Détermination de l’espérance mathématique de la concentration
de nucléides ...................... 280
9.3.4 Détermination de la variance sur la concentration des nucléides ................. 281
D. FORMES GENERALES DE L’EQUATION DE TRANSPORT
ET METHODE DE MONTE-CARLO ..................................................................... 287
1. Transport de particules dans le cas d’une source fixe .............................................. 289
1.1 Forme intégrale de l’équation de Boltzmann et opérateurs associés ................... 289
Table des matières 9
1.2 Lois de probabilité associées au parcours et aux interactions des particules
dans la matière .................... 293
1.3 Densité d’émission et lien avec la densité de collision ........................................ 295
1.4 Décomposition en série de Neumann ................................................................... 298
1.5 Simulation du transport et estimation des densités de collision et d’émission .... 301
1.6 Simulation du transport et estimation des densités de collision et d’émission .... 307
1.6.1 Estimateurs volumiques « collision » et « corde » ......................................... 309
1.6.2 Estimateurs surfaciques ................................................................................. 312
1.6.3 L’estimateur du flux ponctuel ........................................................................ 313
1.6.4 L’estimateur « exponential track length » (e.tle) ........................................... 314
1.7 Estimateurs de grandeurs physiques dérivées du flux de particules .................... 315
1.8 Estimateurs linéairement corrélés ....................................................................... 317
2. Transport de neutrons en milieu multiplicateur – Résolution du problème critique 319
2.1 Principe de la méthode de « l’itération de la puissance » ................................... 321
2.2 Les estimateurs du facteur de multiplication des neutrons .................................. 324
2.3 Étude de la convergence ...................................................................................... 325
2.4 Corrélation inter-batchs dans un calcul critique Monte-Carlo ........................... 332
2.4.1 Position du problème ..................................................................................... 332
2.4.2 Le modèle de E. Gelbard et R. E. Prael ......................................................... 334
2.4.2.1 Incertitude statistique sur la population de neutrons dans le mode
fondamental .................. 336
2.4.2.2 Biais sur le facteur de multiplication effectif des neutrons ...................... 337
2.4.2.3 Variance du facteur de multiplication effectif des neutrons ..................... 338
2.5 Méthode de la matrice de fission ......................................................................... 341
3. Transport adjoint ............... 344
3.1 Rappel sur la définition d'un opérateur adjoint ................................................... 344
3.2 Équation et algorithme de transport de neutrons adjoint .................................... 348
3.3 Relation entre les transports direct et adjoint ...................................................... 354
3.4 Relation entre le flux adjoint et la fonction de Green .......................................... 356
4. Techniques de réduction de variance ........................................................................ 359
5. Propagation d'incertitudes - Méthode des échantillons corrélés .............................. 379
E. BIBLIOGRAPHIE THEMATIQUE INDICATIVE .................................... 385
1. Publications générales ....... 386
10 Simulation de la propagation de particules par la méthode de Monte-Carlo
2. Quelques actes de conférences .................................................................................. 387
3. Marches aléatoires − Processus de diffusion – Processus branchants – Clustering 388
4. Estimateurs, techniques de réduction de la variance ................................................ 389
5. Problème critique ............... 391
6. Transport adjoint ............... 392
7. Perturbations, sensibilités, propagation d’incertitudes ............................................ 393
8. Instrumentation nucléaire, dosimétrie : simulation analogue et application
de techniques de réduction de variance ........................................................................ 394
9. Transport en milieu continûment variable — Dépendance en température —
Effet Doppler – Thermalisation ..................................................................................... 394
10. Monte-Carlo cinétique/dynamique – Dépendance en temps – Couplages
multiphysiques ........................ 395
11. Transport en milieu stochastique – Géométries stochastiques ................................ 397
12. Parallélisme, HPC ........... 398
13. Bruit neutronique ............. 398
14. Benchmarks – Intercomparaison de codes de calcul .............................................. 399
15. Données nucléaires, modèles, sensibilités, incertitudes .......................................... 400
16. Codes de transport Monte-Carlo ............................................................................ 401
SCRIPTS PYTHON ............... 405
LISTE DES TABLEAUX ...... 473
LISTE DES FIGURES ........... 477
INDEX ................................. 481
