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Groupes de symétrie en physique

Brisure spontanée et transitions de phase

de Jean Zinn-Justin (auteur)
Collection : Savoirs Actuels
août 2022
Livre papier
format 155 x 230 196 pages En stock
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Présentation

Le XXe siècle a été témoin de l’importance croissante en physique de la notion de symétrie et donc de groupe de symétrie. En particulier, les groupes de symétrie ont joué un rôle essentiel dans la compréhension des lois fondamentales de la nature, dans la construction du modèle standard des particules élémentaires et dans la théorie des transitions de phase.Dans une première partie, le livre donne une introduction générale à la théorie des groupes, à la foisélémentaire et mathématiquement rigoureuse. Il décrit en détail un certain nombre de groupes parmi les plus utilisés en physique, comme le groupe des rotations SO(3) ou les groupes du modèle standard SU(N). Il passe ensuite en revue quelques applications importantes comme les lois de conservation résultant de symétries (théorème de Noether) ou les brisures de symétrie, discrètes ou continues, dans la théorie des transitions de phase.Bien que de nombreux ouvrages traitent de la théorie des groupes, ce livre présente le sujet dans lecontexte le plus récent. Issu de cours variés et de notes personnelles, il s’adresse aux étudiants de master, aux doctorants, aux chercheurs et aux enseignants.

Sommaire

Table des matières

1 Quelques réflexions sur le rôle des symétries en physique . . . . . . 1

2 La notion de groupe. Définition et propriétés . . . . . . . . . . . 5

2.1Groupes discrets. Groupes finis . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Groupes abéliens discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Groupe symétrique ou des permutations . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Transformations linéaires du réseau cubique général . . . . . . . . 12

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Groupes abéliens : translations, dilatations et groupe U(1) . . . . . 17

3.1 Translations sur la droite réelle et dilatations . . . . . . . . . . 17

3.2 Groupe U(1). Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Groupes de matrice et algèbres : généralités . . . . . . . . . . . . 23

4.1 Algèbres et groupe de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4.2 Isomorphismes généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 Déterminants et représentations . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Norme de matrices et exponentiation . . . . . . . . . . . . . . 26

4.5 Transformations linéaires et matrices . . . . . . . . . . . . . . 27

4.6Tenseurs. Produit tensoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.7 Représentations réductibles et irréductibles . . . . . . . . . . . 30

5 Groupes de Lie : rotations et réflexions du plan . . . . . . . . . . 31

5.1 Les groupes O(2) et SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.2 Le groupe SO(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.3 Représentations : formes bilinéaires et tenseurs . . . . . . . . . . 35

5.4 Décomposition en représentations irréductibles . . . . . . . . . . 37

5.5 Représentations des groupes U(1) et SO(2) . . . . . . . . . . . 40

5.6 Représentation complexe de O(2) . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.7 Mécanique quantique et représentations de dimension infinie . . . . 42

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Algèbres et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1 Définition et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.2 Groupe et algèbre de Lie : représentation adjointe . . . . . . . . 48

6.3 Matrices complexes 2 × 2, matrices de Pauli et algèbre de Lie . . . 50

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 Un groupe de Lie : le groupe orthogonal O(3) . . . . . . . . . . . 55

7.1 Groupe SO(3) et algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7.2 Représentation adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.3 Les représentations matricielles de SO(3) . . . . . . . . . . . . 60

7.4 Mécanique classique et tenseurs : le tenseur d’inertie . . . . . . . 62

7.5 Espace de fonctions et représentations . . . . . . . . . . . . . . 63

8 Les groupes unitaires U(2) et SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . 65

8.1 Groupe SU(2) et matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . 66

8.2 Représentation adjointe de SU(2) et groupe SO(3) . . . . . . . . 68

8.3 Algèbre de Lie de SU(2) : représentations irréductibles . . . . . . 70

8.4 Les groupes SU(2) × SU(2) et SO(4) . . . . . . . . . . . . . . 73

8.5 Les groupes SO(3) et SU(2) et la mécanique quantique . . . . . . 75

9 Groupes de Lie plus généraux, les groupes O(N) et U(N) . . . . . . 77

9.1 Groupes matriciels et algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . 77

9.2 Le groupe O(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

9.3 Algèbre de Lie du groupe SO(N) : construction explicite . . . . . 81

9.4 Un exemple : l’algèbre de Lie du groupe SO(4) . . . . . . . . . 83

9.5 Groupes unitaires U(N) et SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . 85

9.6 Groupes U(N) et O(2N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

9.7 Algèbre de Lie de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9.8 Représentations de SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

9.9 Un exemple : le groupe SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9.10 Représentations irréductibles du groupe SU(3) . . . . . . . . . 94

10 Algèbres de Lie et opérateurs différentiels . . . . . . . . . . . . 97

10.1 Le groupe SO(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.2 Le groupe SU(N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

11 Groupe linéaire général GL(N,R) . . . . . . . . . . . . . . . 107

11.1 Produit tensoriel et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . 108

11.2 Groupe symétrique et tenseurs : réduction des représentations . 111

12 Symétries en physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . 115

12.1 Les équations du mouvement en mécanique lagrangienne . . . . 115

12.2 Mécanique hamiltonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

12.3 Transformations canoniques. Crochets de Poisson . . . . . . . 117

12.4 Symétries et lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . 119

12.5 Théorie classique des champs. Théorème de Noether . . . . . . 122

13 Symétries en physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . 125

13.1 Rappels minimaux de mécanique quantique . . . . . . . . . . 125

13.2 Opérateurs de position et d’impulsion . . . . . . . . . . . . 127

14 Marche au hasard : symétries émergentes . . . . . . . . . . . 133

14.1 Symétrie cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

15 Brisure spontanée de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . 141

15.1 Mécanique classique : symétries discrètes et continues . . . . . 141

15.2 Théorie des champs, symétries continues et modes de Goldstone . 143

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16 Transitions de phase : approximation de champ moyen . . . . . 149

16.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

16.2 ´Energie libre et potentiel thermodynamique . . . . . . . . . . 151

16.3 Transformation de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . 152

16.4 Approximation de champ moyen . . . . . . . . . . . . . . 154

16.5 Symétrie Z2 et propriétés universelles . . . . . . . . . . . . 155

16.6 Spins `a N composantes : groupes O(N) et cubique . . . . . . 157

16.7 Fonctions de corrélation spin–spin . . . . . . . . . . . . . . 161

16.8 Existence de transitions de phase en basse dimension . . . . . 163

Appendices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

A1 Groupes de Lie : remarque et autre application . . . . . . . . 167

A1.1 Algèbre de Lie : une identité utile et ses implications . . . . . 167

A1.2 Solide rigide classique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

A1.3 Oscillateur harmonique quantique et algèbre de Lie . . . . . . 171

A2 Relativité Restreinte et groupes . . . . . . . . . . . . . . . 175

A2.1 Groupe relativiste généralisé O(1,N) : définition et algèbre de Lie 175

A2.2 Les groupes O(1,N) pour N = 1 et N =2 . . . . . . . . . . 176

A2.3 Le groupe physique O(1,3) ou groupe de Lorentz . . . . . . . 178

A2.4 Matrices γ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Compléments

Caractéristiques

Langue(s) : Français

Public(s) : Etudiants, Recherche

Editeur : EDP Sciences

Collection : Savoirs Actuels

Publication : 25 août 2022

EAN13 (papier) : 9782987527640

EAN13 Livre papier : 9782759827640

EAN13 eBook [PDF] : 9782759827657

Intérieur : Noir & blanc

Format (en mm) Livre papier : 155 x 230

Nombre de pages Livre papier : 196

Poids (en grammes) : 340

Taille(s) : 1,3 Mo (PDF)

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