Avant-propos 3
Partie A : notes de cours 11
1 Paramétrage et liaisons 13
1.1 Paramétrage d’un système matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Cas d’un point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Cas d’un solide rigide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Cas d’un système matériel (Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.4 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Paramétrage strict-Paramétrage surabondant . . . . . . . . 19
1.2.2 Liaisons holonome, non holonome et semi-holonome . . . . . 21
1.2.3 Liaison bilatérale-Liaison unilatérale . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Liaison indépendante du temps-Liaison dépendante du temps 25
1.2.5 Liaison principale-Liaison complémentaire . . . . . . . . . . 25
1.2.6 Nombre de degrés de liberté . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2 Vitesses réelles et vitesses virtuelles 37
2.1 Champ de vitesses réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2 Champ de vitesses virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.2 Expression du CVV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Champ de vitesses virtuelles compatible avec une liaison . . . . . . 44
2.3.1 Système matériel (Σ) soumis à une liaison holonome . . . . . 45
2.3.2 Système matériel (Σ) soumis à une liaison non holonome . . 50
2.4 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.4 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Principes des puissances virtuelles 63
3.1 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.1 Schématisation des efforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.2 Puissance réelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2 Puissance virtuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.2 Propriété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Calcul pratique de la puissance virtuelle d’un système . . . . . . . . 70
3.3.1 Puissance virtuelle d’un point matériel . . . . . . . . . . . . 71
3.3.2 Puissance virtuelle d’un solide indéformable . . . . . . . . . 71
3.3.3 Puissance virtuelle d’un système matériel . . . . . . . . . . . 72
3.4 Fonction de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.2 Additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.4.3 Fonction de force associée à la pesanteur . . . . . . . . . . . 73
3.4.4 Fonction de force associée à un ressort élastique . . . . . . . 74
3.5 Systèmes conservatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Principe des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.1 Énoncé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.2 Axiome d’objectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.6.3 Intérêt de la méthode des puissances virtuelles . . . . . . . . 79
3.7 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4 Équations de Lagrange 93
4.1 Mouvements virtuels pour l’étude des systèmes de solides . . . . . . 95
4.1.1 Mouvement virtuel rigidifiant par morceaux . . . . . . . . . 95
4.1.2 Mouvement virtuel compatible avec les liaisons . . . . . . . . 98
4.1.3 Liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.2 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.2.1 Puissance virtuelle des quantités d’accélération . . . . . . . . 100
4.2.2 Puissance virtuelle des efforts extérieurs et intérieurs . . . . 102
4.2.3 Équations de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.7 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Intégrales premières du mouvement 129
5.1 Intégrales premières linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.1 Intégrale première cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1.2 Intégrale première de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.2 Énergie cinétique paramétrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Théorème d’Euler relatif aux fonctions homogènes . . . . . . . . . . 138
5.3.1 Fonction homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.3.2 Théorème d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.4 Lemme de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.5 Intégrales premières quadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.1 Intégrales premières de Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.5.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
5.5.3 Intégrale première de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . 152
5.6 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
5.6 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Équilibre et stabilité 165
6.1 Équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.2 Équilibre pour un seul paramètre . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.3 Équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.1.4 Équilibre strict . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2 Détermination des équilibres paramétriques . . . . . . . . . . . . . . 168
6.2.1 Cas général : utilisation explicite des équations de mouvement du système . . . . .. . . 168
6.2.2 Cas particulier : écriture directe des équations d’équilibre . . 170
6.3 Stabilité d’un équilibre paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3.1 Stabilité au sens de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
6.3.2 Théorème de Lejeune-Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6.3.3 Étude pratique de l’équilibre et de la stabilité lorsqu’il y a une fonction de force . . .. . . . 179
6.4 Linéarisation des équations de Lagrange autour d’une position d’équilibre. . . . . . . 187
6.4.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.2 Linéarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
6.4.3 Stabilité de l’équilibre autour de qe : théorème de Liapunov . 188
6.5 Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1.3 Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Partie B : recueils d’examens corrigés 201
Recueil d’examens 1 : pour commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Épreuve 1 : système composé d’une tige soudée à une demi-sphère . . . 203
Épreuve 2 : stabilité d’un cerceau autour d’une nutation uniforme . . . . 208
Épreuve 3 : étude d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 215
Épreuve 4 : mouvement d’une sphère pleine sur un plan fixe . . . . . . . 225
Épreuve 5 : disque roulant sans glissement sur un plan incliné . . . . . . 233
Recueil d’examens 2 : pour s’exercer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Épreuve 1 : système composé d’un disque, d’une tige et d’un anneau . . 243
Épreuve 2 : système composé d’un disque et d’une tige . . . . . . . . . 248
Épreuve 3 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . . 257
Épreuve 4 : mouvement d’une sphère sur une tige en rotation . . . . . . 266
Épreuve 5 : mouvement d’un ellipsoïde sur un plan lisse . . . . . . . . . 274
Recueil d’examens 3 : pour approfondir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Épreuve 1 : glissement sans frottement d’une plaque triangulaire . . . . 284
Épreuve 2 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Épreuve 3 : étude d’une barre assujettie à deux rotations planes . . . . . 310
Épreuve 4 : étude d’un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 323
Épreuve 5 : mouvement d’un culbuto sur un plan tournant . . . . . . . 335
Bibliographie 353
Index alphabétique 361
