Avant-propos 3
Unité didactique 1 : équations d’Euler-Lagrange 11
Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Problème 1 : système pendulaire soumis à l’action d’un ressort . . . . . 16
Problème 2 : système formé de quatre bras . . . . . . . . . . . . . . . 20
Problème 3 : deux anneaux glissant sur un demi-cerceau . . . . . . . . . 25
Problème 4 : roulement d’un cylindre dans un autre cylindre . . . . . . 31
Problème 5 : deux anneaux glissant sur un cerceau . . . . . . . . . . . 36
Problème 6 : système composé d’un cerceau et d’une tige . . . . . . . . 41
Problème 7 : mouvement d’une charrette . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Problème 8 : cerceau lesté en mouvement plan . . . . . . . . . . . . . . 52
Problème 9 : mouvement d’un disque autour d’une tige . . . . . . . . . 60
Problème 10 : mouvement d’une plaque rectangulaire . . . . . . . . . . 67
Unité didactique 2 : équations de Lagrange 79
Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Problème 1 : système composé d’un disque et d’une tige . . . . . . . . . 84
Problème 2 : glissement sans frottement d’une plaque triangulaire . . . . 93
Problème 3 : mouvement d’un culbuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Problème 4 : étude d’un système pendulaire complexe . . . . . . . . . . 121
Problème 5 : mouvement d’un disque avec un trou circulaire . . . . . . 130
Problème 6 : stabilité d’un cerceau autour d’une nutation uniforme . . . 140
Problème 7 : disque roulant sur une barre en rotation . . . . . . . . . . 14
Problème 8 : étude d’une barre assujettie à deux rotations planes . . . . 156
Problème 9 : étude d’un essieu muni de deux roues identiques . . . . . . 169
Problème 10 : mouvement d’un culbuto sur un plan tournant . . . . . . 18
Unité didactique 3 : équilibre et stabilité 199
Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
Problème 1 : mouvement d’un anneau sur une ellipse . . . . . . . . . . 204
Problème 2 : pendule d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
Problème 3 : barre en mouvement dans un cerceau en rotation . . . . . 21
Problème 4 : deux barres reliées par un ressort . . . . . . . . . . . . . 219
Problème 5 : anneau coulissant dans un tube elliptique en rotation . . . 22
Problème 6 : système composé de deux anneaux, d’un ressort et d’un cerceau236
Problème 7 : mouvement d’une perle sur un cerceau en rotation . . . . . 241
Problème 8 : mouvements d’un losange dans un plan fixe . . . . . . . . 24
Problème 9 : système composé d’un anneau, d’un cerceau et d’une tige . 257
Problème 10 : roulement sans glissement d’un cerceau sur un axe . . . . 26
Unité didactique 4 : équations canoniques de Hamilton 279
Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
Problème 1 : chute d’une barre dans le champ de pesanteur . . . . . . . 285
Problème 2 : mécanisme formé d’une barre et deux charnières . . . . . . 291
Problème 3 : anneau coulissant sur un fil parabolique en rotation . . . . 297
Problème 4 : mouvement d’un anneau sur un cerceau en rotation . . . . 303
Problème 5 : anneau coulissant sur un cerceau tournant . . . . . . . . . 308
Problème 6 : double pendule soumis à l’action d’un ressort . . . . . . . 31
Problème 7 : système composé d’une barre rigide et d’un ressort . . . . 323
Problème 8 : barre mobile sur un cerceau fixe . . . . . . . . . . . . . . 329
Problème 9 : mouvement d’une particule sur une surface cylindrique . . 340
Problème 10 : double pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Unité didactique 5 : transformations canoniques 355
Planche de synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Diagramme synoptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Problèmes corrigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
Problème 1 : équations de transformation d’une fonction génératrice . . 361
Problème 2 : fonction génératrice et crochets de Poisson . . . . . . . . . 366
Problème 3 : nouvel hamiltonien d’un oscillateur harmonique simple . . 370
Problème 4 : fonction génératrice à quatre variables . . . . . . . . . . . 374
Problème 5 : canonicité par la méthode de la différentielle totale . . . . 37
Problème 6 : canonicité par la méthode des crochets de Poisson . . . . . 380
Problème 7 : oscillateur anharmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
Problème 8 : fonction génératrice de l’oscillateur harmonique simple . . 388
Problème 9 : fonction génératrice d’un oscillateur harmonique forcé . . . 390
Problème 10 : oscillations forcées d’un oscillateur harmonique simple . . 392
Bibliographie 399
Index alphabétique 409
