Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
1. Un peu d’histoire et un peu de physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Bernoulli, Euler, Navier, Poisson, Stokes & Cie. . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Rapide déduction physique des équations de Navier-Stokes. . . 4
2. Les outils de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1. Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Quelques définitions et identités vectorielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Espaces de Lebesgue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4. Espaces de Sobolev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Quelques résultats utiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3. Solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1. Équation de la chaleur et équation de Laplace. . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2. Décomposition de Helmholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3. Problème de Stokes et tenseur d’Oseen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.4. Solutions classiques des équations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . 74
3.5. Formulation différentielle et formulation intégrale. . . . . . . . . . . . 89
3.6. Propriétés de décroissance spatiale des solutions classiques . . . 93
3.7. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.8. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4. Solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.1. Principe de contraction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.2. Solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.3. Formulation intégrale et solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.4. Un théorème d’existence de solutions mild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.5. Démonstration du théorème 4.4.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.6. Bilan des estimations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.7. Formulation différentielle et formulation intégrale : équivalence 152
4.8. Temps d’existence des solutions et critères d’explosion . . . . . . . 160
4.9. Espaces fonctionnels et homogénéité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.10. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.11. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5. Solutions mild de type Fourier-Herz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.2. Définitions et propriétés des espaces de Fourier-Herz. . . . . . . . . 184
5.3. Solutions mild dans l’espace L2t F0;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
5.4. Solutions mild dans l’espace L1t F2;1H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
6. Solutions faibles de Leray. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
6.1. Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
6.2. Théorème principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
6.3. Inégalité forte d’énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.4. Unicité fort-faible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
6.5. Le cas de la dimension n = 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
6.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
7. Le alpha-modèle de H. Beirão da Veiga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.1. Une variante du théorème de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
7.2. Le modèle d’hyperviscosité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
7.3. Étude du problème régularisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.4. Inégalité d’énergie et solutions régularisées globales . . . . . . . . . 284
7.5. Passage à la limite et solutions faibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
7.6. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
7.7. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8. Explosion pour une équation simplifiée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.1. Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.2. Un modèle d’étude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
8.3. Construction de solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
8.4. Explosion en temps fini pour le modèle simplifié. . . . . . . . . . . . . 302
8.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
9. Solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.1. Solutions H1 pour le problème stationnaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
9.2. Quelques théorèmes de point fixe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
9.3. Existence de solutions stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
9.4. Problème de type Liouville. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
9.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
10. Régularité locale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
10.1. Résultats de régularité associés à l’équation de la chaleur . . . 340
10.2. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
10.3. Critère de régularité locale de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10.4. Le contre-exemple de Serrin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.5. Notes et compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.6. Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
