Présentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Introduction 11
1 Espaces projectifs, généralités 17
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.1 L’espace projectif . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Sous-variétés projectives . . . . . . . . . . . 22
1.1.3 Indépendance projective . . . . . . . . . . . 24
1.1.4 Repères projectifs . . . . . . . . . . . . . . 25
1.1.5 Coordonnées homogènes . . . . . . . . . . . 28
1.2 De l’affine au projectif, et retour . . . . . . . . . . 31
1.2.1 Une droite plus un point . . . . . . . . . . . 31
1.2.2 Un plan plus une droite . . . . . . . . . . . 32
1.2.3 Équations homogènes de droites . . . . . . 35
1.2.4 Des coïncidences qui n’en sont pas . . . . . 37
1.2.5 Jouer avec les équations de droites . . . . . 39
1.2.6 Autres équations homogènes . . . . . . . . . 41
1.2.7 Homographies, définition . . . . . . . . . . 42
1.3 Visions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.3.1 Le Plan projectif, la sphère, et la bande de Moebius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.4 Questions de fond (1) . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.4.1 Un point de vue élevé . . . . . . . . . . . . 54
1.5 Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.5.1 Le birapport en géométrie projective . . . . 59
1.5.2 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.6 Questions de fond (2) . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1.6.1 Des horizons comme s’il en pleuvait . . . . 71
1.7 Questions de fond (3) . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.8 Dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
1.8.1 Dualité vectorielle . . . . . . . . . . . . . . 76
1.8.2 // Transposition // . . . . . . . . . . . . . 78
1.8.3 Dualité projective . . . . . . . . . . . . . . 81
1.8.4 Doubles définitions, doubles points de vue . 83
1.9 Polaires, polarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2 Homographies 93
2.1 Homographies d’une droite projective . . . . . . . 93
2.1.1 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . 94
2.1.2 Birapport d’une homographie hyperbolique 97
2.1.3 Involutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.2 Optique géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.3 Homographies entre deux droites . . . . . . . . . . 106
2.3.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.3.2 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.3.3 Birapport d’un faisceau de droites . . . . . 109
2.3.4 Birapport sur un cercle . . . . . . . . . . . 111
2.3.5 Caractérisation des projections . . . . . . . 112
2.3.6 Axe d’une homographie . . . . . . . . . . . 113
2.3.7 L’affaire Pappus . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.3.8 L’affaire Desargues . . . . . . . . . . . . . . 126
2.3.9 Triangles doublement perspectifs . . . . . . 135
2.3.10 Le second théorème de Desargues . . . . . . 137
2.4 Homographies du plan projectif . . . . . . . . . . . 140
2.4.1 Stabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.4.2 // La recherche des éléments stables // . . 143
2.4.3 Étude des homologies . . . . . . . . . . . . 145
2.4.4 Dans une carte affine . . . . . . . . . . . . . 154
3 Faisceaux de droites 159
3.0.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4 Les coniques 163
4.1 Les coniques au Collège . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.1.1 Le cône et les plans . . . . . . . . . . . . . 165
4.1.2 Le cône, et ce qu’il contient ! . . . . . . . . 166
4.1.3 Les coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.2 Coniques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.2.1 Formes linéaires, bilinéaires, quadratiques . 171
4.2.2 Équations des coniques projectives . . . . . 173
4.2.3 Forme polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.2.4 Intersection d’une droite avec une conique . 177
4.2.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.3 Faisceaux et coniques . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.3.1 Le théorème de Pascal 4.3.8. . . . . . . . . 195
4.3.2 Construire une conique point par point . . 199
4.4 Questions de fond (4) . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5 Annexe 1 : l’infographie 205
5.0.1 Reconstituer une image 3D . . . . . . . . . 206
6 Annexe 2 : Préparation 211
6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.1.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.1.2 Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.1.3 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.1.4 Fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2 Groupe, Anneau, Corps . . . . . . . . . . . . . . . . 219
6.3 Algèbre linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
6.3.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.3.2 Applications linéaires, formes linéaires . . . 239
6.3.3 Vecteurs propres, valeurs propres . . . . . . 242
6.3.4 // Matrices for beginners // . . . . . . . . . 243
6.3.5 Principales applications linéaires . . . . . . 247
6.3.6 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.4 Espace Affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.4.1 Affine et vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4.2 Applications affines . . . . . . . . . . . . . . 258
6.5 // Quelques mots de Topologie // . . . . . . . . 260
Conclusion 265
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
